Economia

Cap´ ıtulo 3 Relaciones y Funciones
3.1. Relaciones

Sean A y B dos conjuntos, entonces una relaci´n R de un subconjunto o A a un conjunto B es un subconjunto de A × B, es decir, R ⊆ A × B Graficamente podemos ilustrar, de la siguiente forma: A y B pueden ıa representar los lados de un rect´ngulo y as´ A × B ser´ el interior de este, y a ı R un subconjunto de A × B

A×B (a, b) u

b

R(x, y) u

B

y

a

A

x

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CAP´ ITULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES

Diremos que los elementos a y b est´n en la relaci´n R si (a, b) ∈ R y a o escribimos (a, b) ∈ R ∨ aRb ∨ b = R(a) OBS: Si (a, b) ∈ R ⇒ a R b ∨ b = R(a) OBS: Normalmente nuestras relaciones R ser´n subconjuntos de A × B que a verifican una propiedad P . Ejem: La relaci´n igual (=) define una relaci´n binariasobreR × R. o o R = {(x, y) : x, y ∈ R ∧ x = y} Idea gr´fica: a
Y T x=y

E X

Ejem: La relaci´n mayor o igual que (≥) definida en R × R o R = {(x, y) : x, y ∈ R ∧ x ≥ y} Idea gr´fica: a
Y T x≥y

E X

3.1. RELACIONES Ejem: Definamos la relaci´n binaria R sobre R: o xRy ⇔ x2 = y luego R{(x, y) ∈ R × R / x2 = y} Idea gr´fica: a
Y T

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y = x2

E X

Def: (Relaci´n Inversa) o Sea R unarelaci´n en A × B. Se llama Relaci´n Inversa de R,y se o o denota por R−1 a: R−1 = {(y, x) : (x, y) ∈ R} Ejem: Si R = {(x, y) ∈ N × N/x = 2 + y} = {(2 + y, y) : y ∈ N}. Encontrar la relaci´n inversa. o Sol: R−1 = {(y, x) ∈ N × N/(x, y) ∈ R} R−1 = {(y, x) ∈ N × N/x = 2 + y} R−1 = {(y, 2 + y)/y ∈ N} Ejem: Si R = {(x, y) ∈ N0 ×N0 /x+y = 4} = {(0, 4); (1, 3); (2, 2); (3, 1); (4, 0)}. Encontrar la relaci´ninversa. o Sol: R−1 = {(y, x) ∈ N0 × N0 /(x, y) ∈ R} R−1 = {(y, x) ∈ N0 × N0 /x + y = 4} R−1 = {(x, 4 − x)/x ∈ N0 }

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CAP´ ITULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES

Def: Sean A , B conjuntos y R una relaci´n en A × B, entonces llamaremos: o

Dominio de R: Al conjunto de todos los x ∈ A, tales que exista un y ∈ B, de modo que xRy, e. d.: Dom(R) = {x ∈ A/∃y ∈ Btal que xRy} Recorrido de R: Alconjunto de todos los y ∈ B, tales que existe un x ∈ A, de modo que xRy, e. d.: Rec(R) = {y ∈ B/∃x ∈ A tal que xRy} Codominio de R: Corresponde al conjunto B, e. d.: Cod(R) = B

Ejem: Sean A = {2, 3, 5},

B = {6, 7, 10} y sea R la relaci´n siguiente: o

R = {(2, 6); (2, 10); (3, 6); (5, 10)} Encontrar dominio, recorrido y codominio de R. Sol: Dom(R) = {2, 3, 5} Rec(R) = {6, 10} Cod(R) = {6, 7,10}

3.1.1.

Propiedades de las relaciones

1. Reflexiva en A, si ∀a ∈ A, se tiene que aRa. 2. Sim´trica en A, si se tiene que: e aRb ⇒ bRa, ∀(a, b) ∈ R 3. Antisim´trica en A, si se tiene que: e aRb ∧ bRa ⇒ a = b 4. Transitiva en A, si se tiene que: aRb ∧ bRc ⇒ aRc, ∀a, b, c ∈ A Ejem: Para (1) y (2): Relaci´n de igualdad (=). o Para (3) y (4): Relaci´n menor o igual (≤). o OBS: Para toda R ,se tiene que (R−1 )−1 = R

Sea R una relaci´n sobre A × A, entonces diremos que R es: o

3.2. FUNCIONES

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3.2.

Funciones

Def: (Funci´n) o Diremos que una relaci´n R de un conjunto A en un conjunto B es una o Funci´n (o relaci´n funcional), cuando para cada x ∈ Dom(R), se le o o hace corresponder uno y s´lo un elemento y en el Cod(R), e.d.: o [∀(x, y), (x, z) ∈ R ⇒ (y = z)] ⇔ R esfunci´n o Ejem: (xRy) ⇔ (y = x2 ), es una funci´n, pero (xRy) ⇔ (x = y 2 ) no lo es, o pues: si y1 = 1 ⇒ x = 1 si y2 = −1 ⇒ x = 1 Luego (∃y1 , y2 ) tales que {y1 = y2 y (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ R}.

3.3.

Funciones Reales

Def: Sean A y B dos subconjuntos no vac´ en R. Se llama Funci´n de ıos o A en B a toda ley o regla que asigna a cada elemento de A un unico ´ elemento de B. OBS: Para designaruna funci´n usaremos las letras f, g, h, F, H, etc.,y para o indicar un elemento usaremos las letras x, y, z, ω, etc. OBS: Para indicar que f es funci´n de A en B se escribe: o f : A −→ B Para indicar que a un elemento x de A, la funci´n f le asocia un s´lo o o elemento y de B se escribe: x −→ f (x) = y, Es decir: f : A −→ B x −→ f (x) = y

define una funci´n f que a cada x en A le asigna un...