Ecuación de bernoulli

Ecuación de Bernoulli
Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:

Donde y son funciones continuas en un intervalo
Método de resolución
Caso general
Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuaciónpor yα se obtiene:
(1)
Definiendo:

lleva inmediatamente a las relaciones:

Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:
(2)
Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuacióndiferencial pueden calcularse utilizando la expresión:
(3)
Con .
Caso particular: α = 0
En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:
(4)
Caso particular: α = 1
En este caso la solución viene dada por:
(5)

Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación diferencial lineal, fue formulada porJakob Bernoulli y resuelta por su hermano, Johann Bernoulli y presenta la forma:

En la cual, si se hace la sustitución z = y1 − n, la ecuación se transforma en una ecuación lineal con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.
Para resolver la ecuación:
(*)
Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da simplemente:
(**)
Multiplicando la ecuación anterior porel factor: se llega a:

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernoulli:

Y se resuelve ahora la ecuación:

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :

Ecuación de Riccati
Unaecuación diferencial tiene la forma de la introducida por Jacobo Francesco Riccati cuando presenta la estructura:

Para resolverla, se debe hacer la sustitución, donde yp es una solución particular cualquiera de la ecuación.
Ecuación de Riccati
La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, conel fin de analizar la hidrodinámica.
Corresponde a una ecuación de la forma:

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos .
Conocida dicha solución, se hace el cambio:

y reemplazando, se obtiene:

es decir:

lo que equivale a:

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace el cambio
,
esto nos llevadirectamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

Ecuacion de Cauchy-Euler

en una ecuacion de lineal de la forma:
'
donde los coeficientes son constantes se le conoce como una ecuacion de cauchy-euler la caracterisite de este tipo de ecuacion es que el grado k=n,n-1.....1,0 de los coeficientes coincide con el orden ñ de diferenciacion
Solucion
la solucion de ecuaciones deorden superior se deduce de una manera analoga asimismo la ecuacion no homogenea se resuelve mediante una variacion de parametros, una vez que se determina la funcion complementaria .
se prueba una solucion de la forma donde m es un valor que se debe determinar. analogo a lo que sucede cuando se sustituye en una ecuacion lineal con coeficientes constantes, cuando se sustituye , cada termino de unaecuacion CE se convierte en un polimero en m multiplicado por ya que:

si sustituimos es una solucion de la ED siempre que m sea una solucion de la ecuacion auxiliar por lo que hay 3 casos distintos por considerar en funcion de si als raices de esta ecuacion cuadratica son reales y distintas reales e iguales o complejas. en el ultimo caso las raices aparecen como un par conjugado.
Caso I...