ecuación vectoral

Ecuación Vectorial

Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tuviésemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición.



La ecuación de una recta es una expresión analítica que permiteidentificar todos los puntos de la recta.

Dados un punto  de la recta y un vector de dirección  , un punto genérico de la recta  tendrá como vector de posición.

Es claro que, como el vector y están en la misma dirección existe un número tal que, por tanto esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta.

Ecuación Vectorial de la Recta



Ejemplo:

Halla la ecuaciónvectorial de la recta que pasa por  y tiene como vector de dirección  


Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P=(-2,3) y Q=(1,4)

Para determinar la ecuación vectorial necesitamos un punto y un vector de dirección, el punto lo tenemos y un vector de dirección se puede determinar a partir de dos puntos de la recta, luego la ecuación vectorial es



EcuaciónVectorial Parametrica

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro detiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.

Descripción:
En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando losrestantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera  equivale a la expresión.
Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de x en y, es decir que todos los valores x tengan un valor y sólo un valor correspondiente en y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara deuna función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como parámetro.

Ejemplo:

Sea  la ecuación general de una recta, entonces caben la ecuaciones paramétricas: , .1
Ejemplo: 
Dada laecuación, una parametrización tendrá la forma 

Una parametrización posible sería 

Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde x e y equivaliesen a  y  sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto(2, 4) de la curva aparecería en la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1.

Curvas notables

Circunferencia 
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que 
Una expresión paramétrica es 

Elipse 
Una elipse con centro en el origen de coordenadas y que se interseque con el
eje x en a y -a, y con el eje y en b y -b, verificaque  .
Una expresión paramétrica es  .

Otras curvas 


Diferentes figuras variando k


La expresión paramétrica de una función permite la construcción de una gran variedad de formas, simplemente variando alguna constante. A continuación se describe la función paramétrica:




Dependiendo del ratio k = a/b pueden obtenerse formas muy diversas.

En esta otra función se puede ver...