Ecuacion basica de la estatica de los fluidos

ESPINOZA ROJAS Luis Miguel

SANDOVAL GONZALES, Rider Henry

LA ECUACIÓN BÁSICA DE LA ESTÁTICA DE FLUIDOS Nuestro objetivo primario es obtener una ecuación que permitirá determinar el campo de presión dentro de un fluido estático. Para hacer esto, aplicamos la segunda ley de Newton a un elemento de fluido diferencial de masa dm   d  , con lados dx , dy y dy , como se muestra en la figura enla figura.

El elemento fluido es fijo respecto al sistema de coordenadas rectangulares fijo que se muestra. De nuestra discusión anterior, recuerde que pueden aplicarse a un fluido dos tipos generales de fuerza: másicas y de superficie. La única fuerza másica que debe considerarse en la mayor parte de los problemas de ingeniería, se debe a la gravedad. En algunas situaciones pueden estarpresentes las fuerzas másicas que son producto de campos eléctricos o magnéticos, estas no se consideran en el trabajo. r u r u r En un elemento de fluido diferencial, la fuerza másica, dF B , es dF B = g r r dm = g  d donde g es el vector de gravedad local,  es la d es el volumen del elemento. En coordenadas densidad y cartesianas d   dxdydz , así que: r u r dF B =  g dxdydz En un fluidoestático no pueden presentarse esfuerzos de corte. Por consiguiente, la única fuerza de superficie es la del a presión, siendo esta, una cantidad de campo, p=p(x,y,z); la presión varia con la posición dentro del fluido. La fuerza de presión neta que resulta de esta variación, puede evaluarse mediante la suma de las fuerzas que actúan sobre las seis caras del elemento de fluido. Sea  la presión en elcentro, O, del elemento. Para determinar la presión en cada una de las seis caras del elemento, utilizaremos una expansión, de la serie de Taylor, de la presión en torno al punto O. La presión en la cara izquierda del elemento del elemento diferencial es:

L   
FIEE

  dy  dy ( yL  y )    ( )    y y 2 y 2
1

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SANDOVAL GONZALES, Rider HenryLa presión sobre la cara derecha del elemento diferencial es:

R   

  dy ( yR  y )    ( ) y y 2

Las fuerzas que actúan en las dos superficies y del elemento diferencial se muestran en la figura anterior. Cada fuerza de presión es un producto de tres términos. La magnitud de la presión es el primero. La magnitud se multiplica por el área de la cara para obtener la fuerza depresión, mientras que un vector unitario se introduce para indicar la dirección. Observe también, en la figura anterior, que la fuerza de presión en cada cara actúa en contra de la misma. Una presión positiva corresponde a un esfuerzo normal compresivo. Las fuerzas de la presión sobre las otras caras del elemento se obtienen de la misma manera. La combinación de todas estas fuerzas produce lafuerza superficial neta que actúa sobre el elemento. Por tanto: u r  dx  dx ˆ dFS  (   )( dxdz )(iˆ)  (   )( dydz )( i ) x 2 x 2  dy  dy ˆ +(   )( dxdz )(i )  (   )( dxdz )(  ˆ ) j y 2 y 2  dz  dz ˆ ˆ +(   )( dxdz )( k )  (   )( dxdy )( k ) z 2 z 2 Agrupando y cancelando términos, obtenemos u r  ˆ  ˆ  ˆ dFS  (  i j k )dxdydz x y z O u r  ˆ  ˆ  ˆdFS  (  i j k )dxdydz x y z

El término entre paréntesis se llama gradiente del a presiono simplemente, gradiente de presión, y puede escribirse como grad o  . En coordenadas rectangulares: ˆ Grad  =  = (i

 ˆ  ˆ  ˆ ˆ   ˆ   k  )  j  k )  (i j x y z x y z

El gradiente puede considerarse como un operador vectorial; al tomar el gradiente de un campo escalar seobtiene un campo vectorial. Empleando la designación de gradiente, la ecuación puede escribirse como: u r dFS   grad  ( dxdydz )   dxdydz Físicamente, el gradiente de presión es el negativo de la fuerza superficial por unidad de volumen, debido a la presión. Notamos que el nivel de presión no es importante al evaluar la fuerza neta de FIEE 2

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