Ecuacion cubica


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Ecuación Cubica
La ecuación cúbica o también conocida como la ecuación de tercer grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de tercer grado de la forma ax3 + bx2 +cx +d igual a cero.

Donde el coeficiente “a” es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación cuadrática o de grado dos)

Su solución se debe al parecer almatemático italiano Niccolo Fontano Tartaglia pero muchos afirman que este realmente copió el método de un alumno del profesor Scipione del Ferro quien nunca publicó nada al respecto.

La historia parececastigar a Tartaglia ya que fue Gerolamo Cardano, después de engañarlo, el que se encargaría de escribir el método de solución en su famoso libro "Ars Magna".

Método de solución de la ecuacióncúbica

Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨

Reescribiendo la ecuación se tiene forma canónica
Donde y por último
A continuación se hace la sustitución paraeliminar el término x2 de la ecuación

Que simplificando equivale a que también puede escribirse como
(Ecuación cúbica reducida)
Donde y
Ahora sea en la ecuación reducida

La última ecuación sehace cero si

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Cuyas soluciones son
Sustituyendo ambas soluciones en * se obtiene

Cuyo valor nos sirve para encontrar x dado que
Pero deesta forma solo obtenemos una raíz (solución de la ecuación) y como la ecuación es de tercer grado debemos encontrar 3 soluciones  (lo cual se garantiza gracias al teorema fundamental del álgebra)entre reales y complejas.
Para encontrar las dos soluciones restantes se procede a dividir a la ecuación cúbica reducida por
Z - Z1
Siendo
La división es exacta ya que z1 es solución de Z3 + pz +q = 0
Dividiendo se tiene

Por tanto se tiene . Solo nos interesa el Segundo factor

ya que del primero sabemos que si z = z1 la ecuación se hace cero.
es una ecuación de segundo grado...