Ecuacion de bernoulli

Ecuación de Bernoulli
Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otro situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.
 
  |  Definición |
  | Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma
donde  y  son funciones reales y continuas en un intervalo  y es unaconstante real diferente de  y  se conoce como ecuación de Bernoulli1.2  |
 
Observación: cuando  la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando  se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados.
 
 
  |  Teorema |
  | La ecuación de Bernoulli | (1.12) |

se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución .   |
Demostración:
Al dividir laecuación 1.12 por , resulta

| (1.13) |

Usando la regla de la cadena, calculemos  a partir de la sustitución 

Sustituyendo en la ecuación 1.13, esta se transforma en

la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.
 
Ejemplo:

Resuelva la ecuación

Solución  
Ésta es una ecuación de Bernoulli con ,  y . Para resolverla primero dividamos por 

Ahoraefectuemos la transformación . Puesto que , la ecuación se transforma en

Simplificando obtenemos la ecuación lineal

Cuya solución es

y al sustituir  se obtiene la solución de la ecuación original

Observación: en esta solución no está incluida la solución , que se perdió durante el proceso de dividir por . Es decir, se trata de una solución singular.
 
Ejemplo:

Compruebe que laecuación diferencial

se transforma en una ecuación de Bernoulli al hacer .
 
Solución  
Como

Sustituyendo obtenemos

la cual es una ecuación de Bernoulli.

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Flujo en tubería
Uno de los aspectos de la dinámica de fluidos es el comportamiento de los flujos de fluidos, es decir, el movimiento de estos últimos.
Contenido  [ocultar]  *1 La ecuación de continuidad * 2 El Principio de Bernoulli * 3 Pérdidas continuas * 4 Pérdidas localizadas * 5 Proceso de cálculo * 6 Ejemplo de aplicación práctica * 6.1 Primer caso * 6.2 Segundo caso * 6.3 Tercer caso * 7 Véase también |
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[editar]La ecuación de continuidad
La conservación de la masa de fluido a través dedos secciones (sean éstas A1 y A2) de un conducto (tubería) o tubo de corriente establece que: la masa que entra es igual a la masa que sale.
Definición de tubo de corriente: superficie formada por las líneas de corriente.
Corolario 2: solo hay tubo de corriente si V es diferente de 0.
La ecuación de continuidad se puede expresar como:
ρ1.A1.V1 = ρ2.A2.V2
Cuando ρ1 = ρ2, que es el casogeneral tratándose de agua, y flujo en régimen permanente, se tiene:

o de otra forma:
 (el caudal que entra es igual al que sale)
Donde:
* Q = caudal (metro cúbico por segundo; m3 / s)
* V = velocidad (m / s)
* A = area transversal del tubo de corriente o conducto (m2)
Que se cumple cuando entre dos secciones de la conducción no se acumula masa, es decir, siempre que el fluido seaincompresible y por lo tanto su densidad sea constante. Esta condición la satisfacen todos los líquidos y, particularmente, el agua.
En general la geometría del conducto es conocida, por lo que el problema se reduce a estimar la velocidad media del fluido en una sección dada.
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[editar]El Principio de Bernoulli
A estos efectos es de aplicaciónel Principio de Bernoulli, que no es sino la formulación, a lo largo de una línea de flujo, de la Ley de conservación de la energía. Para un fluido ideal, sin rozamiento, se expresa  , donde
* g aceleración de la gravedad
* ρ densidad del fluido
* P presión
Se aprecia que los tres sumandos son, dimensionalmente, una longitud (o altura), por lo que el Principio normalmente se expresa...