Ecuacion de la energía - mecánica de fluidos (español)

ECUACION DE LA ENERGIA EN FLUIDOS. ENFOQUE INTEGRAL
CI31A MECANICA DE FLUIDOS Prof. Y. Ni˜o, Sem. Oto˜o 2005 n n

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Ecuaci´n de Navier-Stokes o

Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un fluido Newtoniano incompresible son las ecuaciones de Navier-Stokes, que expresan b´sicamente la segunda ley de Newton aplicada sobre un a volumen infinitesimal de fluido. En notaci´n vectorial estasecuaciones pueden escribirse como: o Dv ∂v =ρ{ + (v · )v} = − p + µ 2v ˆ (1) Dt ∂t donde D/Dt denota derivada material o total. Esta derivada se descompone en una derivada temporal o local, que da lugar a la aceleraci´n local, y en una componente advectiva, que da o lugar a la aceleraci´n advectiva asociada a los cambios espaciales de velocidad. En (1), ρ y µ o son propiedades del fluido ydenotan densidad y viscosidad din´mica respectivamente, v denota el a vector velocidad y p denota la presi´n motriz definida como: ˆ o ρ p= p+ρg h ˆ (2)

o a o donde p es la presi´n termodin´mica, g denota aceleraci´n de gravedad y h es un eje vertical definido positivo hacia arriba, en contra de la direcci´n de la gravedad. o e o o Los t´rminos en (1) son todos lineales con excepci´n de la aceleraci´nadvectiva. El primer t´rmino del lado derecho representa el balance de fuerzas m´sicas de gravedad y fuerzas superficiales e a normales asociadas a la presi´n termodin´mica. El ultimo t´rmino del lado derecho representa el o a ´ e efecto de las fuerzas viscosas y es v´lido solo para el caso de fluido Newtoniano. Este ultimo es a ´ un t´rmino que representa la difusi´n de cantidad de movimiento enel fluido debido a la acci´n e o o molecular de la viscosidad. En general, en flujos laminares la difusi´n viscosa domina sobre el t´rmino no-lineal asociado a o e la aceleraci´n advectiva. Por el contrario, el flujo se hace turbulento cuando el t´rmino advectivo o e no-lineal es capaz de generar la inestabilidad generalizada del flujo en contra del efecto estabilizador de la viscosidad. La ecuaci´n(1) contiene 4 inc´gnitas, una por cada componente de la velocidad v y una adicional o o correspondiente a la presi´n p. Para cerrar el n´mero de ecuaciones requeridas para resolver un o u problema cualquiera de flujo, dado que (1) corresponde en realidad a 3 ecuaciones, una por cada componente del vector v, es necesario considerar adicionalmente la ecuaci´n de continuidad que se o deriva delprincipio de conservaci´n de la masa. Para un fluido incompresible, esta ecuaci´n es: o o 1

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Mec´nica de Fluidos a

·v = 0

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que indica simplemente que el volumen se conserva. Se acostumbra, por conveniencia, utilizar notaci´n tensorial para escribir las ecuaciones anterio ores, de modo de visualizar mejor los distintos t´rminos que las componen. En notaci´n tensorial e o seconsideran tres coordenadas: (x1, x2, x3), de modo que el vector velocidad tiene componentes: (u1, u2, u3). La componente de (1) en la direcci´n xi puede escribirse como: o ∂ui ˆ ∂ui 1 ∂p ∂ 2 ui =− +ν + uj ∂t ∂xj ρ ∂xi ∂xj ∂xj donde ν = µ/ρ denota viscosidad cinem´tica. a En notaci´n tensorial, la ecuaci´n de continuidad se escribe como: o o ∂uj =0 ∂xj En (4) y (5) el sub´ ındice j repetido implicauna sumatoria sobre j = 1, 2, 3. (5) (4)

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Ecuaci´n de Euler o

Considerando las siguientes identidades vectoriales:
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v=

(

· v) −

×(

× v) =

(

· v) − (

×ω

1 (v · v) − v × ( × v) = 2 donde ω = ×v denota vector vorticidad y por continuidad, puede reescribirse como: (v · )v = ρ{ o bien: ∂v + ∂t ( v2 p ˆ + )= v×ω−ν 2 ρ ∂v + ∂t ( v2 )} = ρ v × ω − 2

v2 )−v ×ω 2 ·v= 0, la ecuaci´n de Navier-Stokes o ×ω (6)

p−µ ˆ

×ω

(7)

Expandiendo p y definiendo la funci´n escalar: ˆ o B= p v2 + +h 2g ρg

llamada Bernoulli o energ´ del flujo por unidad de peso, se tiene: ıa ∂v +g B =v×ω−ν ×ω ∂t Considerando el caso de flujo irrotacional (ω = 0) la ecuaci´n anterior se reduce a: o (8)

Departamento de Ingenier´ Civil ıa

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Universidad de Chile

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