Ecuacion de onda

Capítulo 10 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
10.1. Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales
Los problemas en derivadas parciales que aparecen en Física se suelen clasificar en tres tipos principales: problemas parabólicos, elípticos e hiperbólicos. Los problemas parabólicos corresponden a ecuaciones del tipo de la de difusión del calor ∂ T (x, y, z,t) ∂ 2 T (x, y,z,t) ∂ 2 T (x, y, z,t) ∂ 2 T (x, y, z,t) =k + + ∂t ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 Los problemas hiperbólicos a ecuaciones similares a la ecuación de ondas ∂ 2 ψ(x, y, z,t) ∂ 2 ψ(x, y, z,t) ∂ 2 ψ(x, y, z,t) ∂ 2 ψ(x, y, z,t) = c2 + + ∂t 2 ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 mientras que los problemas elípticos corresponden a las ecuaciones de Poisson ∂ 2 !(x, y, z,t) ∂ 2 !(x, y, z,t) ∂ 2 !(x, y, z,t) ρ(x, y, z,t) + + =− 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ε0∂ 2 !(x, y, z,t) ∂ 2 !(x, y, z,t) ∂ 2 !(x, y, z,t) + + =0 ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 para el potencial eléctrico. En general, si consideramos una ecuación diferencial en derivadas parciales en dos dimensiones de la forma a ∂ 2 ψ(x, y) ∂ 2 ψ(x, y) ∂ 2 ψ(x, y) ∂ ψ(x, y) ∂ ψ(x, y) +c +b +d +e + f ∂ ψ(x, y) + g = 0 2 2 ∂x ∂y ∂ x∂ y ∂x ∂x y Laplace

se denomina hiperbólica si b2 − 4ac > 0, parabólica si b2 − 4ac =0 y elíptica si b2 − 4ac < 0. En Física, la dimensión temporal es la única esencialmente distinta de las tres dimensiones espaciales en cuanto a su comportamiento, por lo que en caso de varias variables el tipo se refiere a la variable temporal y una de las espaciales. 203

204 Ejercicio:

CAPÍTULO 10. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

Comprobar que la anterior definicióngeneral coincide con los tipos de las ecuaciones de ondas, difusión y Poisson avanzados anteriormente.

10.2. La ecuación de propagación del calor (ecuación de difusión)
Vamos a estudiar en primer lugar la ecuación de conducción del calor, ∂ T (x,t) ∂ 2 T (x,t) =κ ∂t ∂ x2 que es más ilustrativa y sencilla al mismo tiempo. Esta ecuación representa la evolución del perfil de temperatura T (x,t) enfunción del tiempo en una barra de coeficiente térmico κ . Una ecuación similar es la ecuación de difusión, que da la concentración C(x,t) en función del tiempo de un soluto con coeficiente de difusión D(x) en un disolvente : ∂C(x,t) ∂ ∂C(x,t) = D(x) ∂t ∂x ∂x Esta ecuación se reduce a la ecuación de propagación del calor si el coeficiente de difusión D es constante. Consideraremos en lo que sigue sóloejemplos en dos dimensiones por sencillez, para evitar supermatrices en tres y cuatro dimensiones y para mantenerse en un volumen de cálculo moderado. Como tenemos que discretizar el espacio y el tiempo, introducimos la abreviación T (xi ,tn ) = Tin Vamos a considerar condiciones de contorno de Dirichlet T (x = −L/2,t) = Ta T (x = L/2,t) = Tb así como condiciones iniciales: T (x, 0) = f (x) Paradiscretizar el espacio y el tiempo, tomamos un paso de integración espacial de h y un paso temporal τ, con lo que tn = nτ y xi = ih − L/2. En general, estos espaciados son distintos, y como veremos, hay relaciones entre ellos que optimizan la precisión numérica del resultado. Supondremos que los índices i y n comienzan en 0, de acuerdo con la convención en los lenguajes C y C++. Tomaremoscondiciones de contorno nulas por simplicidad.

10.2. LA ECUACIÓN DE PROPAGACIÓN DEL CALOR (ECUACIÓN DE DIFUSIÓN) 205 El primer esquema de integración que vamos a considerar es el llamado de diferencias finitas progresivas en el tiempo y centradas en el espacio, abreviado como FCTS ( de Forward Time Centered Space). Tomamos como aproximación a la derivada temporal ∂ T (x,t) ∂t T (tn + τ, xi ) − T (tn , xi) Tin+1 − Tin = = τ τ

tn ,xi

mientras que para la derivada espacial tomamos diferencias centradas
n n ∂ 2 T (x,t) T (tn , xi + h) − 2T (tn , xi ) + T (tn , xi − h) Ti+1 − 2Tin + Ti−1 = = ∂ x2 h2 h2

con lo que la versión discretizada de la ecuación de difusión queda de la forma
n n Ti+1 − 2Tin + Ti−1 Tin+1 − Tin =κ τ h2

De aquí podemos despejar los valores de la temperatura en un...