ecuacion de schrondinger en coordenadas cartesianas

d
ˆ
P x = −i
dx
d
ˆ
Py=-i
dy
d
ˆ
Pz=-i
dz
d
d
d
ˆ x ˆ y ˆ z
P=Pxˆ+Pyˆ+Pzˆ=-i
x + −i
ˆ
y + −i
ˆ
z
ˆ
dx
dy
dz
d2
d2
d2
P2 = − 2 2 − 2 2 − 2 2
dx
dy
dz
P2 = − 2 2
P2
ˆ+ V (r)
H=
2m
− 2 2
ˆ
+ V (r)
H=
2m
2
dΨ
2
i
=−
Ψ + V (r)Ψ
dt
2m
(1)
ahora la ecuacion va ser independiente del tiempo
Ψ = ψe−iωt con esta independecia con respecto al tiempo,ellado derecho de ecuaci´n (1)se
o
reduce a ωΨ,dejando que Ψ satisfaga la ecuacion de schrondinger independiente con respecto
al tiempo para una particula cuya energia es E = ω
2

−

2

ψ
+ V ψ= Eψ
2m

(2)

Debido a que la ‘particula es libre dentro de la caja,la energia potencial se toma en como
V (r) = 0 para 0¡x,y,z¡a.En este caso ,la funcion de onda espacial tambien es separable;es
decir,es posible encontrar,de la ecuacion (2)con V (r) = 0,soluciones de la forma de producto
ψ(r) = ψ(x, y, z) =
ψ1 (x)ψ2 (y)ψ3 (z) (3)
Al sustituir la ecuacion (3)en la ecuacion (2)y dividircada termino entre la funcion ψ(x, y, z)
se obtiene(para V (r) = 0)
A = ψ1 (x)
B = ψ2 (y)
C = ψ3 (z)
2
2
2
d2 A
d2 B
d2 C
−
−
− 2 =E
−
2mA dx2
2mB dy 2
2mC
dy
En esta forma lasvariables independientes estan aisladas :el primer termino a ala izquierda
depende solo de x,el segundo,solo de y,y el tercero,solo de z.
Para satisfacer la ecuacion en todas partes dentro delcubo,cada uno de estos terminos debe
reducirsea una constante:
2

−

2
2
d2 A
d2 B
d2 C
= E1, −
= E2, −
= E3
2mA dx2
2mB dy 2
2mC dz 2

(4)

Los estados estacionarios de una particulaconfinada a un cubo se obtienen a partir de estas
tres ecuaciones separadas.Las energias E1,E2,Y E3 son constantes de separacion y representan
1

la energia de movimiento a lo largo de los tres ejescartesianos x,y,y z.De acuerdo con esta
identificacion ,la ecuacion de schrondinger requiere E1 + E2 + E3 = E
2mE1
d2 A
+ ( 2 )A = 0 tenemos dos condiciones ψ1 (0) = ψ1 (a) = 0
dx
bueno al...