Ecuaciones cuadraticas

Rafael Parra Machío

ECUACIONES CUARTICAS

8. ECUACIONES CUARTICAS
8.1. Ecuación de la forma:

+

+

+

+

≡

1.1 Hallar un procedimiento para resolver la ecuación

ó.
+

, con p primo
+

+

+

=.

Una ecuación cuartica con una incógnita es una ecuación que puede escribirse bajo la forma
canónica de
Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0
donde a, b, c , d , e con a ≠ 0,estos son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a
los reales ℝ o a los complejos ℂ.
Salvo excepciones puntuales, consideraremos para a = 1 y
x 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0
la forma canónica de representación completa de la ecuación de cuarto grado.
Si la ecuación x 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0 admite las raíces a , b , c y d , lo que podríamos representar como

a1

.c

om

x4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = (x − a)(x − b)(x − c)(x − d)

em

at

ic

la estructura de la ecuación, de acuerdo con la Ley de Coeficientes, sería:

w

w

w

.M
at

x 4 − (a + b + c + d ) x 3 + (ab + ac + ad + bc + bd + cd )x 2 − (abc + abd + acd + bcd )x + abcd = 0

En su obra Ars Magna, Girolamo Cardano (1501-1576) dice que el primero que consiguió la
solución de una ecuaciónde cuarto grado fue Ludovico Ferrari (1522-1565) ya que aquél acepto el desafío de Zuanne di Tonini da Coi para resolver un problema que éste, finalmente, dio
solución utilizando un procedimiento parecido al aplicado para resolver la ecuación de tercer
grado.
Leonhard Euler (1707-1783), que según el Diccionario Oxford-Complutense de Christopher
Clapham, fue el más prolífico y fuera de todacomparación de los grandes matemáticos, también intervino en la solución de las ecuaciones de cuarto grado.
Partiendo de la solución de Ludovico Ferrari, amigo y protegido de Cardano, Euler, a la vista de
la ecuación Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0 dice que “debemos empezar destruyendo el segundo
término”. Significa que quiere eliminar el monomio de tercer grado Bx 3 . Según él, esto se conBsigue dividiendo la ecuación por A y haciendo la sustitución y = x − , agrupando términos
4A
y simplificando. El resultado es

x 4 − ax 2 − bx − c = 0
que es una ecuación incompleta de cuarto grado equivalente a la ecuación incompleta de tercer grado que vimos en el capítulo anterior.
Euler admite que la solución de una ecuación de cuarto grado incompleta es de la forma

x= p+ q+ r

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donde los coeficientes p, q y r , han de ser calculados en función de a, b, c.
Eleva al cuadrado la forma anterior

x 2 − (p + q + r ) = 2( p + q + r )
Eleva al cuadrado nuevamente

x 4 − 2(p + q + r )x 2 + (p + q + r )2 = 4(pq + pr + qr ) + 8 pqr x
Introduce variables auxiliares
f = p + q + r , g = pq + pr + qr , h = pqr

y consigue unaecuación como

x 4 − 2 fx 2 − 8 hx −(4g − f 2 ) = 0
que al compararla con la ecuación x 4 − ax 2 − bx − c = 0, revela que:

ic

a1

.c

b2
64

w

4 c + a2
16

w

w

(c) 4g − f 2 = c donde, g =

.M
at

em

(b) 8 h = b luego, h =

om

a
2

at

(a) 2 f = a o sea, f =

Por tanto, la ecuación reducida de cuarto grado es:

x 4 + Px 2 + Qx + R = 0
Para demostrareste planteamiento, Euler propone la solución del siguiente supuesto:

x 4 − 8 x 3 + 14 x 2 + 4 x − 8 = 0
Dado que y = x +

−8 x3
= x + 2, la reducida de x 4 − 8 x 3 + 14 x 2 + 4 x − 8 = 0 resulta:
4

( x + 2) 4 − 8( x + 2)3 + 14( x + 2) 2 + 4( x + 2) − 8 = x 4 + 10 x 2 − 4 x + 8 = 0
Si p, q, r son raíces de

z 3 − ( p + q + r ) z 2 + ( pq + pr + qr ) z − pqr = ( z − p)( z − q)( z − r )= 0
entonces

z 3 − fz 2 + gz − h = 0
2

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que es una ecuación equivalente a x 4 + 10 x 2 − 4 x + 8 = 0.
Si ahora sustituimos

f=

p 10
q 2 42 1
4r + p 2 4(−8) + 102 17
= = 5, g =
=
= , h=
=
=
d2
16
16
4
64 64 4

encontramos que, p, q y r son las soluciones de la ecuación de tercer grado auxiliar

4 + 15
4 − 15
, r=
z 3...