Ecuaciones de valor

Ecuaciones de valor

Es muy frecuente el hecho de cambiar una o varias obligaciones por otra u otras nuevas obligaciones. La solución de este tipo de problemas se plantea en términos de una ecuación de valor que es una igualdad de valores ubicados en una sola fecha denominada fecha focal. Su cálculo se hace exactamente igual a lo que acabamos de plantear en el ejercicio anterior. En la fechafocal debe plantearse entonces la igualdad entre las diferentes alternativas para que la suma algebraica sea cero como se establece en el principio de equivalencia financiera.


Ejemplo 1: Una persona se comprometió a pagar $1.000.000 dentro de seis meses, $1.500.000 dentro de doce meses y $2.000.000 dentro de diez y ocho meses. La persona manifiesta ciertas dificultades para pagar y solicitael siguiente sistema de pagos: $1.200.000 hoy, $1.200.000 dentro de 10 meses y el resto dentro de 20 meses. Cuánto deberá pagar en el mes 20? Suponga que la tasa mensual es 1,5%.


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Las ecuaciones de valor permiten calcular en cualquier instante del tiempo ( fecha focal) el valor de todas las cuotas de tal manera que la suma de las cuotas positivas sea igual a la suma de las cuotasnegativas. Planteemos como fecha focal el instante cero:


1.000.000/1,0156 + 1.500.000/1,01512 + 2.000,000/1,01518 = 1.200.000 + 1.200.000/1,01510 + X/1,01520


3.698.946,50 = 2.234.000,68 + X / 1,01520


X= 1.973.069,61


Realmente cualquier fecha se puede considerar como fecha focal y el resultado es el mismo. Consideremos ahora el mes 12 como fecha focal. La ecuación devalor es la siguiente:


1.000.000*1,0156 + 1.500.000 + 2.000.000/1,0156 = 1.200.000 x 1,01512 + 1.200.000*1,0152 + X/1,0158


4.422.527,65 = 2.671.011,81 + X/1,0158


X= 1.973.069,61


Como podemos observar el resultado es exactamente el mismo a pesar de haber cambiado la fecha focal para plantear la ecuación de valor.


Ejemplo 2: Una persona debe pagar $1.000.000 dentro detres meses, $1.500.000 dentro de diez meses y $2.000.000 dentro de un año. La persona desea efectuar un solo pago de $4.500.000 para cancelar las tres obligaciones. Si la tasa de interés es del 18% anual nominal liquidada mensualmente, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago.


La tasa de periódica es: i = 0,18 / 12 = 0,015 = 1,5%


Miremos el diagrama del flujo de caja para estecaso:


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Tomemos como fecha focal el instante cero:


1.000.000/1,0153+1.500.000/1,01510+2' 000.000/1,01512 = 4' 500,000 / 1,015n


3.921.592,69 = 4.500.000 / 1,015n


1,015n = 4.500.000 / 3.921.592,69


1,015n = 1,14749296


log(1,015)n = 1,14749296


n x log 1,015 = log(1,14749296)


n = 9,240587619


Dentro de 9,24 meses se dará la equivalenciafinanciera de los pagos. Si reducimos este tiempo a días considerando que un mes tiene 30 días, 0,24 x 30 = 7,2 días, es decir, el pago de los $4.500,000 debe hacerse dentro de nueve meses y siete días.


Ejemplo 3: Planteemos por último una ecuación de naturaleza muy diferente. Una persona debe pagar $1.500.000 dentro de 4 meses, $1.500.000 dentro de 6 meses y $2.000.000 dentro de un año. Lapersona le plantea al acreeedor la posibilidad de efectuar un solo pago de $4.800.000 en el mes cinco. Si se aceptan estas condiciones, que tasa de interés rendiría la deuda?


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La ecuación de valor que se plantea con el instante cero como fecha focal es la siguiente:


1.500.000/( 1 + i )4 + 1.500.000/( 1 + i )6 + 2.000.000/( 1+i )12 = 4.800.000/( 1 + i )5


Si igualamos a cero yordenamos los exponentes, la ecuación queda :


2.000.000/( 1+i )12 + 1.500.000/( 1 + i )6 – 4.800.000/( 1 + i )5 + 1.500.000/( 1 + i )4 = 0


Para resolver esta ecuación polinómica de octavo grado, debemos utilizar un método iterativo de prueba y error. Para cada valor supuesto de la tasa periódica i calculamos el valor del polinomio. Vale la pena anotar que los valores supuestos para i...