Ecuaciones Diferenciale

´ ´ ´ UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION
´ FACULTAD DE INGENIERIA

Departamento de Matem´ tica y F´sica Aplicadas a ı

Evaluacion Recuperativa (PAUTA) ´ Ecuaciones DiferencialesOrdinarias 1. Problema (15 puntos): Se sabe que la poblacion de cierta comunidad au´ menta con una rapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier instante de tiempo t . Si lapoblacion se duplico en cinco a n os, ´ ´ ˜ entonces en cu´ nto tiempo se triplicar´ y cuadruplicar´ ? a a a 2. Problema (15 puntos) : Determine la solucion general de la EDO de tercer ´ orden: y ′′′ − 3y′′ + 2y ′ = x + ex . 3. Problema (15 puntos): Resuelva el problema de valores iniciales siguiente:  ′′  y + y = δ(t − π) cos t     y(0) = 0     ′  y (0) = 1 4. Problema (15 puntos): Usando elm´ todo de los valores propios y vectores e propios, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:  ′  x1 = 3x1 + 2x2 + 4x3     x′ = 2x1 + 2x3  2     ′ x3 = 4x1 + 2x2 + 3x31

Pauta de Correccion ´ Problema 1 P (t) : Cantidad de Poblacion en el instante de tiempo t ´ • Modelo de cricimiento es: cuya solucion general es: ´ P (t) = Cekt Si C0 es la poblacion inicial,entonces P (0) = C0 , as´ tenemos ´ ı P (t) = C0 ekt . • Para t = 5 , tenemos P (5) = C0 ekt ⇓ C0 e = 2C0 ⇓ 1 k = ln 2 5 • T1 : tiempo en que se triplica la poblacion. ´ P (T1 ) = 3C0 ⇓ T1 ln 2 C0 e 5= 3C0 ⇓ T1 ln 2 = ln 3 5 ln 3 T1 = 5 [a˜ os] n ln 2 • T2 : tiempo en que se cuadruplica la poblacion. ´ P (T2 ) = 4C0 ⇓ T2 ln 2 C0 e 5 = 4C0 ⇓ T2 ln 2 = ln 4 5 T2 = 10[a˜ os] n 2
5t

dP (t) = kP(t) dt

Problema 2 • Ecuacion Homogenea: ´ Resolvamos la EDO Homogenea y ′′′ − 3y ′′ + 2y ′ = 0. La ecuacion caracteristica es: ´ m3 − 3m2 + 2m = 0

m(m − 1)(m − 2) = 0 cuyas raices son: m1 = 0 ,m2 = 1 , m3 = 2 por tanto la solucion de la EDO ´ homogenea es: yh (x) = c1 + c2 ex + c3 e2x . • Ecuacion no Homogenea: Solucion particular ´ ´ y ′′′ − 3y ′′ + 2y ′ = x + ex . Usando el m´ todo de...