Ecuaciones diferenciales,coeficientes indeterminados

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ECUACIONES DIFERENCIALES COEFICIENTES INDETERMINADOS E0100 Utilizando el m´todo de coeficientes indeterminados, calcular una soluci´n particular y escribir la e o soluci´n general de la edo. o (1) y − 4y + 4y = 12x2 − 40x + 42 (2) y − 4y + 4y = 4(2x − 1)e4x (3) y − 4y + 4y = −80 sen 3x − 23 cos 3x (4) y − 4y = 12x2 − 40x + 42 (5) y − 5y + 4y = (12x − 5)e4x (6) y − 4y + 4y = 2(9x − 2)e2x (7) y + 4y= 16 sen 2x + 12 cos 2x

canek.uam.mx: 21/ 4/ 2003.
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COEFICIENTES INDETERMINADOS E0100

Respuestas
Utilizando el m´todo de coeficientes indeterminados, calcular una soluci´n particular y escribir la e o soluci´n general de la edo. o (1) y − 4y + 4y = 12x2 − 40x + 42 Primero se obtiene la soluci´n general de la edo. homog´nea asociada (soluci´n complemeno e o taria yc(x)): y − 4y +4y = 0 Proponiendo y = e
µx

se obtiene

µ2 − 4µ + 4 = (µ − 2)2 = 0 Cuya soluci´n es µ = 2, de multiplicidad 2, entonces o yc = c1 e2x + c2 xe2x = (c1 + c2 x)e2x Segundo, se obtiene una soluci´n particular yp (x) de la no-homog´nea o e y − 4y + 4y = 12x2 − 40x + 42 Aqu´ el t´rmino no homog´neo es un polinomio de grado 2, adem´s, se tiene a y con coefiı e e a ciente 4 = 0. Se propone comosoluci´n particular a o yp (x) = Ax2 + Bx + C Con A, B, C coeficientes a determinarse. Si yp = Ax2 + Bx + C ⇒ yp = 2Ax + B ⇒ yp = 2A Sustituyendo en yp − 4yp + 4yp = 12x2 − 40x + 42, se obtiene 2A − 4(2Ax + B) + 4(Ax2 + Bx + C) = 12x2 − 40x + 42 Asociando respecto a x (4A)x2 + (−8A + 4B)x + (2A − 4B + 4C) = 12x2 − 40x + 42 Igualdad que se cumple cuando  4A = 12  −8A + 4B = −40  2A − 4B + 4C = 42Sistema de ecuaciones que tiene por soluci´n a o A = 3, B = −4 y C = 5 Entonces, la soluci´n particular es o yp (x) = 3x2 − 4x + 5

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Por lo tanto, la soluci´n general es o y = yp (x) + yc(x) y = 3x − 4x + 5 + (c1 + c2 x)e2x
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(2) y − 4y + 4y = 4(2x − 1)e4x Por el ejercicio anterior se sabe que la soluci´n general de la homog´nea asociada, es o e yc =(c1 + c2 x)e2x Para obtener una soluci´n particular yp (x) de la no-homog´nea o e y − 4y + 4y = 4(2x − 1)e4x = (8x − 4)e4x Debe considerarse que: el t´rmino no homog´neo es un polinomio de grado uno por e4x y e e o e que, adem´s, e4x no es soluci´n de la homog´nea asociada. a Se propone como soluci´n particular a o yp (x) = (Ax + B)e4x Con A, B coeficientes a determinarse. Si yp = (Ax + B)e4x ⇒ yp =4(Ax + B)e4x + Ae4x ⇒ yp = 16(Ax + B)e4x + 8Ae4x Sustituyendo en yp − 4yp + 4yp = (8x − 4)e4x , se obtiene [16(Ax + B) + 8A]e4x − 4[4(Ax + B) + A]e4x + 4(Ax + B)e4x = (8x − 4)e4x Eliminando e4x y asociando respecto a x (4A)x + (4A + 4B) = 8x − 4 Igualdad que se cumple cuando 4A = 8 4A + 4B = −4 Sistema de ecuaciones que tiene por soluci´n a A = 2 y B = −3 o Entonces, la soluci´n particular es oyp (x) = (2x − 3)e4x Por lo tanto, la soluci´n general es o y = yp (x) + yc(x) y = (2x − 3)e4x + (c1 + c2 )e2x

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COEFICIENTES INDETERMINADOS E0100

(3) y − 4y + 4y = −80 sen 3x − 23 cos 3x Por el ejercicio 1 (y anterior) se sabe que la soluci´n general de la homog´nea asociada, es o e yc (x) = (c1 + c2 x)e2x Para obtener una soluci´n particular yp (x) de la no homog´nea o e y − 4y + 4y =−80 sen 3x − 23 cos 3x Debe considerarse que: el t´rmino no homog´neo es una combinaci´n lineal de sen 3x y e e o cos 3x, y que estas funciones no son soluciones de la homog´nea asociada. e Se propone como soluci´n particular a o yp (x) = A sen 3x + B cos 3x Con A, B coeficientes a determinarse. Si yp = A sen 3x + B cos 3x ⇒ yp = 3A cos 3x − 3B sen 3x ⇒ yp = −9A sen 3x − 9B cos 3x Sustituyendo en yp −4yp + 4yp = −80 sen 3x − 23 cos 3x Se obtiene [−9A sen 3x − 9B cos 3x] − 4[3A cos 3x − 3B sen 3x] + 4[A sen 3x + B cos 3x] = = −80 sen 3x − 23 cos 3x Asociando t´rminos respecto a sen 3x y cos 3x e (−5A + 12B) sen 3x + (−12A − 5B) cos 3x = −80 sen 3x − 23 cos 3x Igualdad que se cumple cuando −5A + 12B = −80 −12A − 5B = −23 Sistema de ecuaciones que tiene por soluci´n a o A = 4 y B = −5...
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