ecuaciones diferenciales finitas

Modelos discretos


Ÿ1.

Introducción

Supongamos que se decide modelar la población de moscas de la manera más simple
posible: el número de moscas de un verano depende de la cantidad de huevos depositados en
el verano anterior, que a su vez depende de la cantidad de moscas vivas en el verano anterior.
Así, el número de moscas en un verano es una función del número de moscas en elverano
anterior:
xn+1 = f (xn )
(1)
donde xn indica el número de moscas en el verano n (n = 0, 1, 2 . . .). El número xn se llama
estado del sistema en el tiempo n. El modelo más adecuado para entender la evolución de esta
población es un modelo discreto (en contraposición a continuo). En un modelo discreto, las
variables evolucionan en el tiempo, como en el caso continuo, pero las medicionesse realizan
una vez por cada período de tiempo. Típicamente, son discretos los modelos en ecolog
i a, en economía, genética, etc.
Una ecuación donde se relacionan los valores de estados en tiempos discretos, se llaman
ecuaciones en diferencias nitas.
Como el ecosistema es sumamente complicado y las posibles mediciones son imperfectas,
no podemos esperar que el modelo así establecido vaya arepresentar exactamente el número
de moscas en cada verano. El gran supuesto que hacemos al establecer un modelo así es que
el número de moscas en un verano depende únicamente del número de moscas en el verano
anterior (no depende de cual sea el verano n). Aunque esto no sea estrictamente cierto, puede
servir para una primera aproximación. Aún resta el problema de la determinación de unafunción que sea consistente con los datos y con los aspectos biológicos de la reproducción
de moscas. Nuestro objetivo es estudiar las variaciones del estado con el tiempo, esto es, la
dinámica del sistema.

1

Ÿ2.

Ecuaciones lineales

Comencemos haciendo un supuesto simple para la propagación de moscas: por cada mosca
de generación n habrá R moscas en la generación n + 1. La ecuación endiferencias correspondiente será entonces:
xn+1 = Rxn
(2)
En este caso la función f involucrada es f (x) = Rx, cuya gráca es representada por una
recta. En este caso la ecuación se dice lineal.
La solución de la ecuación (2) es una sucesión de estados x0 , x1 , x2 , . . ., que satisface la
ecuación (2) para cada valor de n. El estado x0 se llama estado inicial. A partir de x0 es
posibleobtener los valores x1 , x2 , x3 , . . ., de la siguiente manera:

x1 = Rx0
x2 = Rx1 = R(Rx0 ) = R2 x0
x3 = Rx2 = R(R2 x0 ) = R3 x0
En general, esto sugiere que xn  el valor del estado en el momento n  será Rn x0 . Esto se
verica inmediatamente al sustituir en la ecuación (2): suponiendo que para todo n se tiene
xn = Rn x0 , entonces:
xn+1 = Rn+1 x0 = R(Rn x0 ) = Rxn .
La dinámica delsistema depende del valor de R. Los posibles comportamientos son:
1) Decaimiento (0 < R < 1)

2) Crecimiento (R > 1)

3) Estado Estacionario (R = 1)

•

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El número de moscas
decrece año a año, y a
la larga las moscas se extinguen.

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La población de moscas
crece indenidamente.
Ejercicios 2.

1. Realizar grácas como las dearriba pero para los valores:

2

En este caso la población se mantiene constante.

= ) −1 < R < 0
> ) R < −1
? ) R = −1
Ÿ3.

Métodos de iteración

3.a. Método gráco
El método gráco consiste en gracar la función f dada por la ecuación (1) y observar
que los sucesivos valores de xn se obtienen al aplicar la función f al valor xn−1 obtenido en
el paso anterior. Por ejemplo, paraobtener x1 se coloca x0 en el eje horizontal y se sube
verticalmente hasta la gráca de f para ver x1 en el eje vertical:

x1

x0
Ahora, para ver x2 es necesario colocar x1 en el eje horizontal, y para esto se simetriza con
respecto a la diagonal del plano, es decir, la recta y = x:

y=x

x1

x1
Luego, como antes, subimos desde el x1 colocado en el eje horizontal hasta la gráca,...