Elemento finito para resolver ecuaciones diferenciales parciales

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
ESCUELA DE INGENIERIA QUIMICA
Métodos numéricos en Ingeniería Química II

ELEMENTO FINITO PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Muchos de los problemas estudiados por diversas disciplinas de la ingeniería como la mecánica de medios continuos, el electromagnetismo, la transferencia de calor entre otros involucran el estudio de magnitudes queevolucionan no solamente en tiempo sino también en las variables espaciales. Por esta razón, la formación de un ingeniero no debe cubrir únicamente el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias, sino también el modelado de sistemas mediante ecuaciones en derivadas parciales. Sin embargo, en muy pocas ocasiones puede obtenerse una solución analítica a estos problemas, especialmente cuandoel dominio computacional presenta una geometría complicada. Aunque existen varios enfoques distintos para la resolución numérica de estos problemas, quizá el más extendido en la comunidad ingenieril es el método de los elementos finitos.

Bases del método de los elementos finitos.
Los métodos de elementos finitos son una poderosa técnica para la solución numérica de las ecuacionesdiferenciales. Y la formulación teórica está fundamentada en el principio variacional. La minimización del funcional es de la forma.

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Debe satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange

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La cuál es una ecuación diferencial parcial con ciertas condiciones de frontera natural.

Incluso la solución de ecuaciones en derivadas parciales sencillas en geometrías complicadas raramente puedeexpresarse en términos de funciones elementales. De este modo, nos enfrentamos a dos problemas: en primer lugar, la necesidad de describir una geometría complicada y generar una malla en ella. Una vez que se ha realizado el mallado, discretizar la ecuación en derivadas parciales en esta malla y resolver la ecuación para la aproximación discreta de la solución. Utilizando algunos software como MATLAB,en cuya interfaz gráfica pdetool, parte de la “PDE toolbox”, proporciona una herramienta grafica de fácil manejo para la descripción de estas geometrías complicadas, generación de mallas, resolución de la ecuación discretizada y la representación de resultados. Esta herramienta usa elementos finitos para la solución de ecuaciones diferenciales parciales en dos dimensiones. La ecuación básica deeste toolbox es la ecuación elíptica básica (expresada sobre el dominio computacional Ω).

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Donde a, c y f son funciones de valor complejo en el dominio de la solución, y pueden estar también en función de u. el toolbox también puede resolver las siguientes ecuaciones:

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y

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Donde a, c y f son funciones de valor complejo en el dominio de la solución, y puedenestar también en función del tiempo t. el símbolo ∇ es el vector operador diferencial (no debe ser confundido con el operador de las diferencias progresivas).
Las ecuaciones mencionadas anteriormente del PDE toolbox, son llamadas elípticas, parabólica y hiperbólica respectivamente, sin importar los valores de los coeficientes y de las condiciones de frontera.

Para solucionar una ecuacióndiferencial parcial usando el PDE toolbox uno puede utilizar simplemente la interfaz gráfica de usuario empleando el comando pdetool. En este ambiente separado, el usuario puede definir la geometría bidimensional, introduce las condiciones frontera, resuelve la ecuación diferencial parcial y visualiza los resultados. En ocasiones especiales donde el problema es complicado o no es un problemaestándar, el usuario puede resolverlo utilizando unas funciones llamadas comandos de línea algunas de estas funciones (comandos solamente) son tabulados a continuación.

|SOLVER. |DESCRIPCION. |
|assempde |Monta y soluciona la ecuación diferencial parcial elíptica....