Ecuaciones Diferenciales Exactas

Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

Instituto de Ingeniería y Tecnología

Ecuaciones Diferenciales

Investigación de Ecuaciones diferenciales exactas

Lic. Mayra Torres

Alumno: JorgeLópez Peña 78539

Ecuaciones diferenciales exactas

Definición.- La diferencial de una función F diferenciable continua, se expresa con la forma diferencial
dF=∂F∂xdx+∂F∂ydy(Ec. 1)
Se dice que una forma diferencial es exacta si es la diferencial de una función diferenciable continua.
Agregaremos de manera explícita que la formadiferencial Pdx+Qdy es exacta solo si hay una función Fx,y tal como:
dF=∂F∂xdx+∂F∂ydy=Pdx+Qdy (Ec. 2)
Esto significa que los coeficientes de dx y dy deben de ser iguales, o:
∂F∂x=P(x,y) y∂F∂y=Q(x,y) (Ec. 3)
Además, si la forma ω=Pdx+Qdy es exacta, y es igual a la diferencial dF, entonces la solución general para dF=Pdx+Qdy=0 esta dada porFx,y=C.

Ejemplo 1.- Resolver la ecuación 2xdx+4y³dy=0
Usando la ecuación #3, se muestra que se quiere encontrar una función Fx,y que satisfaga
∂F∂x=2x & ∂F∂y=4y³.

Ya que las variables enesta ecuación son separables, es natural buscar una función F que sea la suma de una función de x y una función de y. Luego, la integración nos lleva a Fx,y=x²+y4. En consecuencia, la formadiferencial 2xdx+4y³dy es exacta. Además, la solución general para la ecuación 2xdx+4y³dy=0 esta dada por:
x²+y4=C. (Ec. 4)

Teorema. Siendoω=Px,ydx+Qx,ydy una forma diferencial donde P y Q son diferenciables continuas.
a) Si ω es exacta, entonces:
∂P∂y=∂Q∂x. (Ec. 5)

b) Si la ecuación es cierta en un rectángulo R, entonces ω es exacta enR.

Comprobación. Para comprobar (a), suponer que ω=dF. Entonces:

∂F∂x=P & ∂F∂y=Q (Ec. 6)

P y Q son diferenciables continuas, así que F es la...