Ecuaciones diferenciales homogéneas

Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorando en Educación Matemática

Ecuaciones diferenciales homogéneas
Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a
ecuaciones en variables separadas. Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario
definir lo que es una función homogénea.

Definición de función homogénea:
Una funciónf : D  IR 2  IR se dice homogénea de grado n si f  x , y    n f  x , y  para todo   0 y
todo x, y   D.

Ejemplos:



La función f x, y  

1 es homogénea de grado 1 .
2
x y

2
2
 Las funciones f  x, y   e , f x, y   x  y , f  x, y  
2
2
x

y

x y



x
son homogéneas de grado 0.
2x  y

Las funciones f  x, y   x 2  y 2 , f  x, y  xy , f  x, y   x 2  2 xy  y 2 son homogéneas de grado 2.

Ejemplo 2. Determine si la función es homogénea f  x, y   x 2 y  x 3
Solución:

f x,y   x  y   x 
2

3

  2 x 2 y    3 x 3
  3 x 2 y   3 x3



  3 x 2 y  x3
Por lo tanto







f  x , y    3 x 2 y  x 3   3 f  x , y  de ahí que La función f  x, y   x 2 y  x 3 esHomogénea de

grado 3

Ejemplo 3. Determine si la función es homogénea: f x , y  

x y
x

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Solución: f x ,y  

f x , y  

x  y  x  y  x  y
x y
Por lo tanto f x ,y    0


  0 f x , y  La función
x
x
x
x

x y
es Homogénea de grado 0
x

Ejemplo 4: Determinar si lafunción es homogénea para: f x , y  
Solucion:

f x ,y  

Homogénea de grado 0.

 x2  y 2

x

x2  y 2
por tanto
x

Probamos,

f x ,y  

x2  y 2
  0 f x , y  es una función
x

f x , y  

Ejemplo 5. Determinar si la función es homogénea para: f x , y  
Solucion:

x2  y 2
.
x

x2  x  y 2
y

x 2  x  y 2
yy







 x 2 x  y 2 x 2  x  y 2
como

y
y

f x , y   f x ,y  tenemos que Para que una expresión pueda ser una función homogénea esta tiene que tener el
mismo grado en el numerador como en el denominador, por lo tanto podemos decir que esta ecuación NO ES
HOMOGÉNEA.

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Una EDO es homogénea si se puede llegar a escribir de alguna de las formas siguientes:


Homogénea de cualquier grado y  f  x , y , con f x , y , función y

g x , y , funciones homogéneas del mismo grado

Definición:
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, y  f  x , y , es homogénea si la función f  x , y  es homogénea de
orden cero.

Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma M x , y dx  N x , y dy  0 sería homogéneasí y
sólo sí los coeficientes M x , y  y N x , y  son funciones homogéneos del mismo grado.

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Algoritmo de Solución para una ecuación diferencial ordinaria (EDO)
1. Comprobar que la EDO es homogénea
2. Proponemos : Z ( x )  y por lo que tenemos: y  xz  y  z  xz lo que equivale a dy  z dx  x dz
x

3.Sustituimos en la EDO,(Nos quedará una EDO Separable),
4. Resolvemos para Z(x)
5. Restituimos para Y(x)
Ejemplo 1. Resolver:

y 

xy  y 2
x2

Solución: Siguiendo el algoritmo de solución:
Paso. 1) EDO homogénea de grado 0
Paso. 2) Proponemos: Z ( x )  y por lo que tenemos: y  xz  y  z  xz   dy  zdx  xdz
x

Paso. 3) Sustituimos en la EDO:

xxz   xz 
x2
x2 z  x2 z 2
z xz  
x2
z  xz   z  z 2
z  xz  

2

xz   z 2
z 1

z2
x
Paso. 4) Resolvemos para Z(x):

dz

z

2



dx
-1

 ln x  C sustituimos z y tenemos:  x  ln x  C
x
z
y

Paso. 5). Sustituimos para para Y(x): y 

Ejemplo 2. Resolver:
Solución:

-x
ln x  C

x  y  dx - x - y  dy  0

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