Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorando en Educación Matemática

Ecuaciones diferenciales homogéneas
Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a
ecuaciones en variables separadas. Antes deestudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario
definir lo que es una función homogénea.

Definición de función homogénea:
Una función f : D  IR 2  IR se dice homogénea de grado n si f  x , y    n f  x , y  para todo   0 ytodo x, y   D.

Ejemplos:



La función f x, y  

1 es homogénea de grado 1 .
2
x y

2
2
 Las funciones f  x, y   e , f x, y   x  y , f  x, y  
2
2
x

y

x y



x
son homogéneas de grado 0.
2x  yLas funciones f  x, y   x 2  y 2 , f  x, y   xy , f  x, y   x 2  2 xy  y 2 son homogéneas de grado 2.

Ejemplo 2. Determine si la función es homogénea f  x, y   x 2 y  x 3
Solución:

f x,y   x  y   x 
2

3

 2 x 2 y    3 x 3
  3 x 2 y   3 x3



  3 x 2 y  x3
Por lo tanto







f  x , y    3 x 2 y  x 3   3 f  x , y  de ahí que La función f  x, y   x 2 y  x 3 es Homogénea de

grado 3

Ejemplo 3. Determinesi la función es homogénea: f x , y  

x y
x

Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorando en Educación Matemática

Solución: f x ,y  

f x , y  

x  y  x  y  x  y
x y
Por lo tanto f x ,y    0


  0 f x , y La función
x
x
x
x

x y
es Homogénea de grado 0
x

Ejemplo 4: Determinar si la función es homogénea para: f x , y  
Solucion:

f x ,y  

Homogénea de grado 0.

 x2  y 2

x

x2  y 2
por tanto
x

Probamos,

fx ,y  

x2  y 2
  0 f x , y  es una función
x

f x , y  

Ejemplo 5. Determinar si la función es homogénea para: f x , y  
Solucion:

x2  y 2
.
x

x2  x  y 2
y

x 2  x  y 2
yy





[continua]

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(2013, 06). Ecuaciones diferenciales homogéneas. BuenasTareas.com. Recuperado 06, 2013, de http://www.buenastareas.com/ensayos/Ecuaciones-Diferenciales-Homog%C3%A9neas/30772016.html

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"Ecuaciones diferenciales homogéneas." BuenasTareas.com. 06, 2013. consultado el 06, 2013. http://www.buenastareas.com/ensayos/Ecuaciones-Diferenciales-Homog%C3%A9neas/30772016.html.