Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorando en Educación Matemática

Ecuaciones diferenciales homogéneas
Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducena
ecuaciones en variables separadas. Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario
definir lo que es una función homogénea.

Definición de función homogénea:
Una funciónf : D  IR 2  IR se dice homogénea de grado n si f  x , y    n f  x , y  para todo   0 y
todo x, y   D.

Ejemplos:



La función f x, y  

1 es homogénea de grado 1 .
2x y

2
2
 Las funciones f  x, y   e , f x, y   x  y , f  x, y  
2
2
x

y

x y



x
son homogéneas de grado 0.
2x  y

Las funciones f  x, y   x 2  y 2 , f  x, y  xy , f  x, y   x 2  2 xy  y 2 son homogéneas de grado 2.

Ejemplo 2. Determine si la función es homogénea f  x, y   x 2 y  x 3
Solución:

f x,y   x  y   x 
2

3

 2 x 2 y    3 x 3
  3 x 2 y   3 x3



  3 x 2 y  x3
Por lo tanto







f  x , y    3 x 2 y  x 3   3 f  x , y  de ahí que La función f  x, y   x 2 y  x 3 esHomogénea de

grado 3

Ejemplo 3. Determine si la función es homogénea: f x , y  

x y
x

Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorando en Educación Matemática

Solución: f x ,y  

fx , y  

x  y  x  y  x  y
x y
Por lo tanto f x ,y    0


  0 f x , y  La función
x
x
x
x

x y
es Homogénea de grado 0
x

Ejemplo 4: Determinar si lafunción es homogénea para: f x , y  
Solucion:

f x ,y  

Homogénea de grado 0.

 x2  y 2

x

x2  y 2
por tanto
x

Probamos,

f x ,y  

x2  y 2
  0 f x , y  es unafunción
x

f x , y  

Ejemplo 5. Determinar si la función es homogénea para: f x , y  
Solucion:

x2  y 2
.
x

x2  x  y 2
y

x 2  x  y 2
yy







... [continua]

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(2013, 06). Ecuaciones diferenciales homogéneas. BuenasTareas.com. Recuperado 06, 2013, de http://www.buenastareas.com/ensayos/Ecuaciones-Diferenciales-Homog%C3%A9neas/30772016.html

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"Ecuaciones diferenciales homogéneas." BuenasTareas.com. 06, 2013. consultado el 06, 2013. http://www.buenastareas.com/ensayos/Ecuaciones-Diferenciales-Homog%C3%A9neas/30772016.html.