Ecuaciones Diferenciales Lineales

ECUACIONES DIFERENCIALES
´ n-Roy 2
Ignacio Gracia Rivas 1 , Narciso Roma
Departamento de de Matem´atica Aplicada IV
C/ Jordi Girona 1. Edificio C-3, Campus Norte UPC
E-08034 Barcelona

October 3, 2008

1
2

e-mail: IGNACIO@MAT.UPC.ES
e-mail: MATNRR@MAT.UPC.ES

Prefacio
Estos Apuntes de Ecuaciones Diferenciales constituyen una gu´ıa personal a la asignatura de Ecuaciones
Diferenciales que seimparte en la E.T.S.E.T.B. en el curso 1-B de la carrera de Ingenier´ıa de Teleco´ n (Plan de Estudios 1992). Por tanto, en ning´
municacio
un momento pretenden ser una gu´ıa oficial, ni tan
siquiera una pauta a seguir respecto a como debe ser impartida la asignatura.
Debemos agradecer la colaboraci´
on de muchos compa˜
neros que han impartido esta asignatura y que,
adem´
as de hacerme valiosassugerencias, han detectado erratas y errores que han sido ya corregidos (aunque
somos conscientes de que todav´ıa pueden quedar otros muchos por detectar). Especialmente nuestro agradec´s Yebra, por permitirnos el uso y transcripci´on de sus apuntes sobre el tema de la
imiento a L.L. Andre
transformaci´
on de Laplace.

i

Contents
1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

1

1.1

Introducci´
on . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Definiciones, interpretaci´
on geom´etrica y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.1

Definiciones b´
asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.2

Interpretaci´
on geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

3

1.2.3

Ejemplos de aplicaciones f´ısicas y matem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Resoluci´
on de ecuaciones de variables separables, lineales y homog´eneas . . . . . . . . . . . .

4

1.3.1

Ecuaciones integrables elementalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.2

Ecuaciones de variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

5

1.3.3

Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.4

Ecuaciones homog´eneas: cambio de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.5

Ecuaciones de Bernouilli y de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Aplicaciones: familias de curvas, modelos matem´aticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Trayectorias ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Modelos de poblaci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.3

Desintegraci´
on radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3

1.4

1.5

1.6

Resultadosde existencia y unicidad y de dependencia continua de soluciones

. . . . . . . . .

13

1.5.1

Presentaci´
on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.2

Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.3

Dependencia continua de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

M´etodos num´ericos de resoluci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.6.1

Ideas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.6.2

M´etodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.6.3

M´etodo de Euler modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

18

1.6.4

M´etodo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2 Ecuaciones Diferenciales (Lineales) de Orden Superior

ii

19

Ecuaciones Diferenciales.

iii

2.1

Introducci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Nociones fundamentales. Ecuaciones...