SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

INTRODUCCIÓN
Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferencialespuede tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.

Teoría preliminar
Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de una o más ecuaciones en las que aparecen una o más funciones incógnita, pero todas ellas dependiendo de una sola variable independiente. Para ilustrar este concepto vamos a retomar un ejemplo de cinéticaquímica que estudiamos en la lección anterior, pero preguntándonos ahora una cuestión diferente y, como veremos, más complicada.
Ejemplo 8.1.- Consideremos las siguientes reacciones irreversibles de segundo orden que se producen consecutivamente en un reactor:
A + S
k1 −→ X
X + S
k2 −→ Y
Si inicialmente se añaden 2 moles de S y 1 mol de A. ¿Cuál es la cantidad de sustancia en el reactor en cadainstante de tiempo?
Si, como viene siendo habitual, [A], [S], [X] y [Y] representan las concentraciones molares de las sustancias presentes en las reacciones, las ecuaciones diferenciales que modelan la evolución en el tiempo de las concentraciones son:

d[A]/dt = −k1[A][S]
d[Y ]/dt = k2[X][S]
d[X]/dt = k1[A][S] − k2[X][S]
d[S]/dt = −k1[A][S] − k2[X][S]

Esto es un sistema de 4 ecuacionesdiferenciales de primer orden con cuatro funciones incógnitas: [A], [S], [X] y [Y]. Así pues, resolver el sistema seria encontrar expresiones para las cuatro funciones (como funciones del tiempo t, que es la variable independiente). Como además se dan unas condiciones iniciales: [A]0 = 1 mol, [S]0 = 2 moles [X]0 = [Y]0 = 0 moles, estamos en presencia de un problema de condiciones iniciales.

Setrata de un sistema que no es lineal porque las ecuaciones que los componen no lo son. Salvo para sistemas muy concretos solo disponemos de métodos analíticos generales para resolver sistemas lineales especiales. Por ello no es esperable que podamos obtener, tal y como se nos pide, expresiones analíticas para la evolución de las concentraciones de las sustancias presentes en el reactor a lo largodel tiempo.
Sistemas de primer orden
En el sistema (8.1) aparecen solo derivadas de primera orden en las funciones incógnita [A], [S], etc. Por eso se llama un sistema de primer orden. El orden de un sistema de ecuaciones diferenciales es el orden de la derivada de mayor orden que aparece en el sistema.
La forma general de un sistema de dos ecuaciones y de primer orden es:

x = f(t, x, y)
y= g(t, x, y)

Donde f y g son funciones de las tres variables x, y y t (variable independiente del sistema). Una solución del sistema en el intervalo (a, b) es un par de funciones x(t), y(t) que satisfacen:
x(t) = f(t, x(t), y(t))
y(t) = g(t, x(t), y(t))
Idénticamente para toda t ∈ (a, b).

Sistema de Ecuaciones Diferenciales
Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de variasEcuaciones Diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.
Se expresa dela siguiente forma:


Reducción a un sistema de primer orden.
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden n con m ecuaciones:

Existe un sistema equivalente de primer orden con a lo sumo (n+1)xm ecuaciones. Para ver esto consideremos un sistema en que intervienen mfunciones incógnitas xi y sus n derivadas, e introduzcamos un nuevo conjunto de variablesyi,k definidos de la...