Ecuaciones Diferenciales - Teoría y Resolución de Ejercicios

1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES

Las edo. Lineales homogéneas de coeficientes son de la siguiente forma:



Sabemos que:

Son constantes reales

Solución de las edo. Lineales homogéneas de coeficientes constante

Consideramos el polinomio de la forma siguiente:


1° Caso: P(r)= 0 y sus raíces son reales y distintos.
Entonces tiene lasolución siguiente:




2° Caso: P(r) = 0 y algunas raíces son iguales.
Entonces tiene la solución siguiente:



3° Caso: P(r)= 0 y alguna de estas raíces son complejas.
Entonces tiene la solución siguiente:










1.1. PROBLEMAS PROPUESTOS

PG. 273

RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES

15)

Solución

El polinomio característico de la edo. Es:Sacando sus raíces:




Con las raíces, las soluciones son:







18)

Solución

El polinomio característico de la edo. Es:


Sacando sus raíces:




Ya que existen raíces imaginarias repetidas aplicaremos el caso 3:



Entonces:








21)

Solución

El polinomio característico de la edo. Es:


Sacando sus raíces:




Con susraíces, las soluciones son:





24)

Solución

El polinomio característico de la edo. Es:

Sacando sus raíces:

Con las raíces complejas y una raíz aplicamos el caso 3:








27)
Solución

El polinomio característico de la edo. Es:



Mediante números complejos, factorizamos:

Usando “Teorema de Moivre”:


Para este caso:





Obtenemos:2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES
Las edo. Lineales NO homogéneas de coeficientes son de la siguiente forma:



Sabemos que:

Son constantes reales
Para obtener la solución de las edo. Lineales no homogéneas de coeficientes constantes buscamos
La solución general de ecuación diferencial lineal homogénea:
Una soluciónparticular cualquiera de solución diferencial no homogénea:
Su suma de y es igual a la solución general



Cuando se tiene un polinomio de la siguiente forma:


Donde y son polinomios de grado n y m

Entonces el problema se reduce a solamente encontrar una solución particular , que tiene la forma:




K:
s : orden de multiplicidad de la raíz
y : polinomio x de orden K


Soluciónde las edo. Lineales NO homogéneas de coeficientes constantes

1° Caso:
Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial es la función:


Si r= 0, no es raíz de la ecuación característica entonces:

Si r= 0, es raíz de la ecuación característica entonces:


2° Caso:

Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial es la función:

Si r= α, no es raíz dela ecuación característica entonces:


Si r= α, es raíz de la ecuación característica entonces:





3° Caso:

Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial es la función:

Si r= , no son raíz de la ecuación característica entonces:


Donde K=máx. {n, m}

Si r= , es raíz de la ecuación característica entonces:

Donde K=máx. {n, m} y s es lamultiplicidad de r ± iβ








4° Caso:

Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial es la función:




Si r= , no es raíz de la ecuación característica entonces:



Si r= , es raíz de la ecuación característica entonces:







2.1. PROBLEMAS PROPUESTOS

PG. 287 (I)

RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES


22)Solución
El polinomio característico de la edo. Es:


Sacando sus raíces:


Con sus raíces, las soluciones son:
La solución complementaria es:

La solución particular es de la siguiente forma:


Sustituimos los valores en la ecuación diferencial:



Usando Identidades:


Su solución es:




25)

Solución
El polinomio característico de la edo. Es:

Factorizando por...