Resolución De Ecuaciones Diferenciales

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Resolución de Ecuaciones Diferenciales
Luis Alejandro Marin Cod:0804028 Diego Coral Calpa Cod:0803549 Camilo Serna Cod:0804042 laboratorio#1,grupo#3

I. INTRODUCCIÓN Desde la invención del transistor y todo el auge tecnológico que esto produjo en el mundo, la tecnología cada día ha roto sus propias limitaciones y barreras. Así llegamos al ampli cador operacional, que con todas susaplicaciones se ha convertido en un elemento crucial del desarrollo en que ahora vivimos. En este laboratorio se estudió una aplicación muy interesante la cual compromete a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias, claro está que como se vio en clase también se pueden desarrollar sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones algebraicas, entre otras aplicaciones. Como se podrá ver en elmarco teórico se hará necesario la manipulación de las variables de estado, los ampli cadores sumadores y el integrador Miller como puntos clave en el desarrollo de lo que se pretende. II. MARCO TEORICO Ahora haremos una breve introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias. Para ello se hace la transformación adecuada a variables de estado y de allí se obtiene lasolución en tiempo real utilizando redes con ampli cadores operacionales. Sea la ecuación diferencial dada por:
y
(n)

0 1 0.... 0   0 0  0    . 0 1.... 0  x= x +  : u = Ax + Bu  : : : :      0 − a1 − a 2 − a3.... − an 1   

y = [b1 b 2 ... bn − 1 bn]x = C T x
donde :

x = [x1 x 2 ... xn − 1 xn]

T

La realización se desarrolla utilizando n integradores y hasta dossumadores. Para el cálculo de los parámetros que representan los coe cientes ai, bj , se utiliza el mismo procedimiento empleado antes para resolver el problema algebraico. En los siguientes ejemplos se muestra el procedimiento para la realización de los circuitos con AOs. TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO: o de asentamiento, es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rangoalrededor del valor nal del tamaño especi cado por el porcentaje absoluto del valor nal (por lo general, de 2 o 5%). El tiempo de establecimiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control. TIEMPO PICO: El tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobreelongación. SOBREIMPULSO: La máxima sobreelongación es el máximo valor del pico dela curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor nal en estado estacionario de la respuesta es diferente de la unidad, es frecuente utilizar el porcentaje de sobreelongación máxima. III. PROCEDIMIENTO Implementación de la ecuación diferencial para el primer circuito:

(t ) + any

( n −1)

(t ) + .... + a1y(t ) = bmu

( m)

(t ) + b(m − 1)u

( m −1)

(t ) + ...b1u(t )donde el superíndice (i) denota la i-ésima derivada y ai, bi son números reales conocidos. En este caso se tiene una ecuación diferencial lineal ordinaria de orden n. Tomando la transformada de Laplace, con condiciones iniciales cero, conduce a la respuesta en el dominio de la frecuencia.

y ( s) bm +1 s m + bm −1 s m −1 + ...b1 = n H (S ) = u ( s) s + a n s n −1 + ... + a1
Para encontrarla realización en la forma de variables de estado, cada estado corresponde a la salida de un integrador pues es en los integradores en donde se almacena la energía del sistema. La ecuación de estado en forma de controlabilidad se escribe por inspección a partir de la función de transferencia dada en la ecuación anterior asumiendo que el sistema es estrictamente propio, es decir, . La función detransferencia, entonces se transforma en n ecuaciones diferenciales de primer orden quedando:

y ,, + 3 y , + y = u y ,, = u − 3 y , − y
(s 2 + 3s + 1) * Y ( s) = U ( s)

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Y ( s) 1 = 2 = G (s) U ( s ) s + 3s + 1
 x1 ,   0 1   x1  0  , =  *   +   * u (t ) x 2  − 1 − 3  x 2  1 
x  y = [ 0]*  1  1  x2 

 x1,   0 1 0   x1  0  ,  0 1  *  x 2  +...