Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones

Gil Sandro Gómez
03/01/2013

Unidad 1. Las Ecuaciones Diferenciales y sus soluciones

Contenido
1.

Introducción................................................................................................... 2

2.

Concepto Básico .......................................................................................... 2

3.

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales......................................... 2

4. Las Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales y los Problemas de
Valores Iniciales. ................................................................................................... 4
5.

Campo de Direcciones y el Método de las Isoclinas ............................. 8

6.

Ecuación Diferencial de Primer Orden Autónoma................................. 9

7.

Método de Aproximación de Euler ......................................................... 10

Bibliografía .......................................................................................................... 12

Preparado por: Gil Sandro Gómez

1

Unidad 1. Las Ecuaciones Diferenciales y sus soluciones

1. Introducción.
Tanto en las ciencias como en lasingenierías se desarrollan modelos
matemáticos para comprender mejor los fenómenos físicos.
Generalmente, estos modelos producen una ecuación que contiene
algunas derivadas de una función incógnita. Esta ecuación recibe el
nombre de ecuación diferencial.
Las ecuaciones diferenciales no solo se utilizan en las ciencias e
ingenierías, sino en otros campos del conocimiento humano como: lamedicina, la economía, la investigación de operaciones y la psicología.

2. Concepto Básico
Definición. Una ecuación que contiene las derivadas de una o más
variables dependientes, con respecto a una o más variables
independientes, es una ecuación diferencial (E.D).

3. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales.
Clasificación por el tipo. Si una ecuación contiene solo derivadas
ordinariasde una o varias variables dependientes con respecto a una
variable independiente se dice que es una ecuación ordinaria (E.O.D).
Una ecuación diferencial ordinaria puede ser escrita como:
dy
d 2 y dy
dy dy
 3 y  senx,
 7y  0 y
  8 x 2  2 y ~ (1)
2
dx
dx
dx
dx dt

Una ecuación con derivadas parciales de una o más variables
dependientes de dos o más variables independientes sellama ecuación
diferencial parcial (E.D.P). Por ejemplo,

 2  2
 2u  2u
u
u
u
 2  0,
 2  2
y

~ (2)
2
2
u
v
x y
y
t
x
son ecuaciones diferenciales parciales.

Según el orden. El orden de una ecuación diferencial es el orden de
la derivada de máximo orden que aparece en la ecuación diferencial.

Preparado por: Gil Sandro Gómez

2

Unidad 1. LasEcuaciones Diferenciales y sus soluciones

d 2 y dy
  7 y  0 es una ecuación de segundo orden
dx 2 dx
Una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden de una variable
dependiente, puede expresarse mediante la forma general

F ( x, y, y ',..., y n )  0 ~ (3)
Donde F

es una función de valores reales de

n  2 variables:

x, y, y ',..., y n .
Por conveniencia práctica laecuación (3) suele escribirse de la forma:


dny
dy
d n1 y 
 f  x, y, ,..., n1  ~ (4)
dx n
dx
dx 


De acuerdo a la linealidad. Una ecuación diferencial ordinaria de
n
orden n es lineal si F es lineal en x, y, y ',..., y . Esto significa que una
E.D.O de orden

n

es lineal cuando (3) es

an ( x) y n  an1 ( x) y n1  ...  a1 ( x) y ' a0 ( x) y  g ( x)  0 o bienan ( x) y n  an1 ( x) y n1  ...  a1 ( x) y ' a0 ( x) y  g ( x) ~ (5)
Dos casos especiales de (5) son las E.D.O de primer orden y segundo
orden:

a1 ( x)

dy
d2y
dy
 a0 ( x) y  g ( x) y a2 ( x) 2  a1 ( x)  a0 ( x) y  g ( x) ~ (6) .
dx
dx
dx

Las dos propiedades características de una E.D.O lineal son:


La variable dependiente

y

y todas sus derivadas son de...