Ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

INTRODUCCIÓN

Cuando la función tiene una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria (EDO). Esto contrasta con una ecuación diferencial parcial (o EDP) que involucra dos o más variables independientes.

Una gran cantidad de problemas de física y de ingeniería pueden modelarse matemáticamente mediante ecuacionesdiferenciales. Como problema modelo, considérese el caso más sencillo: una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden:

[pic] (x)= f(x,y) en x £ [a, b]

complementada con la condición inicial

y (a) = α

La incógnita del problema es la función (y) de una variable x, definida en el intervalo [a, b]. La función f(x, y) y el escalar α son datos. La primer ecuación es diferencialporque aparece la derivada [pic] de la función incógnita y; ordinaria porque solamente aparecen derivadas totales, y no derivadas parciales; de primer orden porque únicamente aparece la derivada primera, y no derivadas de orden superior.

En ciertos casos, esta solución puede hallarse analíticamente de manera sencilla. Tómese, por ejemplo,

[pic] (x) = cy en x £ [0, 1]y(0) = α

donde las constantes c e α son conocidas. La solución analítica de la ecuación anterior es

y(x)= α exp(cx)

(verifíquese). En otros muchos casos, sin embargo, la EDO no puede integrarse analíticamente y es necesario emplear alguna técnica numérica.

Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior a uno

Puedeocurrir que en la ecuación diferencial aparezcan derivadas de y de orden superior a uno. Considérese, por ejemplo, una EDO de orden n, que se escribe como:

[pic]

Esta EDO involucra a la función “y” y a sus n primeras derivadas, puesto que la derivada n-ésima depende, según una función conocida f, de x, y “y” las n - 1 primeras derivadas. Para que el problema tenga solución única, son necesarias ncondiciones adicionales sobre la función incógnita y. Estas condiciones adicionales se llaman condiciones iniciales si están dadas en un mismo punto del intervalo [a, b] o condiciones de contorno si están dadas en más de un punto del intervalo [a, b].

Un caso habitual de condiciones iniciales es que la función “y” y sus n-1 primeras derivadas tengan valores prescritos conocidos α0, α1,α2,…, αn-1 en el extremo a:

[pic]

Si se complementa la EDO (ecuación 9.3) con las condiciones iniciales (ecuación 9.4), se obtiene un problema de valor inicial: se tiene información sobre la función y en el punto x = a (condiciones iniciales), y hay que integrar la EDO para hallar la evolución de la función y (es decir, su valor en todo el intervalo [a, b]).

Si, por el contrario, la EDO secomplementa con condiciones de contorno, se tiene un problema de contorno. Como ejemplo de condiciones de contorno, supóngase que la función y tiene su valor prescrito en n puntos del intervalo [a, b].

MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA.

Ahora miremos uno de los métodos más populares para resolver numéricamente las ecuaciones diferenciales ordinarias: Runge-Kutta. Nuestra ecuación diferencial ordinariageneral toma la forma:

donde el vector de estado x(t) = [x1(t), x2(t), . . ., xn(t)] es la solución deseada.

Nuestro punto de partida es el método simple de Euler; en forma vectorial podría ser escrito como:

Consideremos la primera fórmula de Runge-Kutta:

EL MÉTODO DE EULER

Yi+1= yi + φh

De acuerdo con esta ecuación, la pendiente estimada φ se usa para extrapolar desde un valoranterior yi a un nuevo valor Yi+1 en una distancia h. Esta fórmula se aplica paso a paso para calcular un valor posterior y, por lo tanto, para trazar la trayectoria de la solución.

Todos los métodos de un paso que se expresen de esta forma general, tan sólo van a diferir en la manera en la que se estima la pendiente. El procedimiento más simple consiste en usar la ecuación diferencial,...