Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales (MA-841)
Ecuaciones Diferenciales Exactas
Departmento de Matemáticas / CSI

aciones Diferenciales Exactas

ITESM

Ecuaciones Diferenciales - p. 1/15

Ecuaciones Diferenciales Exactas
En el curso de cálculo de varias variables se
definió el diferencial total de una función de dos
variables f (x, y) por la ecuación (3.1) siguiente:
∂f (x, y)
∂f (x, y)
dx +dy
df (x, y) =
∂x
∂y

(3.1)

Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
´
Ecuacion Exacta
Ejemplo 3
´
Metodo de
´
Solucion
Ejemplo 4
Ejemplo 5

Para saber el valor del diferencial total en un punto
(x0 , y0 ), hay que conocer los diferenciales de las
variables independientes, esto es dx y dy para
posteriormente evaluar. En esta evaluación puede
ser que el valor encontrado parael diferencial total
sea diferente de cero o bien, idénticamente cero.

aciones Diferenciales Exactas

Ecuaciones Diferenciales - p. 2/15

Sin embargo, existe una función f (x, y) para la
cual el valor de su diferencial total simpre será
igual a cero, sin importar el punto (x0 , y0 ) y los
correspondientes dx y dy. Esta función f (x, y) esta
definida por la ecuación (3.2)
f (x, y) = cteDiferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
´
Ecuacion Exacta
Ejemplo 3
´
Metodo de
´
Solucion
Ejemplo 4
Ejemplo 5

(3.2)

No es difícil probar la aseveración anterior, ya que
cuando una función es igual a una constante, el
incremento de la función f (x, y) y el diferencial
total tienen exactamente el mismo valor de cero.

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Ecuaciones Diferenciales- p. 3/15

Esto es, si f (x, y) = cte entonces

Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
´
Ecuacion Exacta
Ejemplo 3
´
Metodo de
´
Solucion
Ejemplo 4
Ejemplo 5

df (x, y) = ∆f (x, y) = f (x+∆x, y+∆y)−f (x, y) = cte−cte = 0
(3.3)

La ecuación (3.3) es una prueba general, para
mostrar de forma específica lo anterior, considere
el siguiente ejemplo.

aciones DiferencialesExactas

Ecuaciones Diferenciales - p. 4/15

Ejemplo 1
Si f (x, y) = ex+y = 1, muestre que su diferencial
total vale cero.
Solución
Lo primero que tenemos que hacer para mostrar
que el diferencial vale cero, es determinar el
dominio de f (x, y). Para que la función ex+y sea
simpre igual a 1, se requiere que el exponente
x + y sea siempre igual a cero, para con ello tener

DiferencialTotal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
´
Ecuacion Exacta
Ejemplo 3
´
Metodo de
´
Solucion
Ejemplo 4
Ejemplo 5

ex+y = e0 = 1
luego el dominio de la función es el conjunto de
puntos tales que x + y = 0 o bien la recta
y = −x

Aplicando diferenciales a la ecuación que define el
dominio de f (x, y) encontramos un relación entre
los diferenciales dada
aciones Diferenciales Exactaspor
EcuacionesDiferenciales - p. 5/15

Ahora, calculemos el diferencial total de
f (x, y) = ex+y y apliquemos dy = −dx
(x,y)
(x,y)
df (x, y) = ∂f∂x dx + ∂f∂y dy
df (x, y) = (ex+y )dx + (ex+y )dy
df (x, y) = (ex+y )dx + (ex+y )(−dx)

Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
´
Ecuacion Exacta
Ejemplo 3
´
Metodo de
´
Solucion
Ejemplo 4
Ejemplo 5

luego
df (x, y) = 0
que es lo que se deseabamostrar.

aciones Diferenciales Exactas

Ecuaciones Diferenciales - p. 6/15

Se puede modificar el valor de la constante y
veremos que el resultado que se encuentre simpre
será cero, aunque en algunas ocasiones será más
fácil que en otras mostrar lo que nos piden. En lo
sucesivo, consideraremos que si f (x, y) = cte, su
diferencial total siempre vale cero sin importar el
valor de laconstante y el punto en que se pida.

aciones Diferenciales Exactas

Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
´
Ecuacion Exacta
Ejemplo 3
´
Metodo de
´
Solucion
Ejemplo 4
Ejemplo 5

Ecuaciones Diferenciales - p. 7/15

Ejemplo 2
Determine el diferencial total de cada función de
dos variables.
1. f (x, y) = ln(x2 + 3y) + xsen(y) = 5

aciones Diferenciales Exactas

Diferencial...