Ecuaciones Diferenciales
ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1
1.2
1.3
Definiciones y terminología
Problemas de valor inicial
Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos
Ejercicios de repaso
Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo
de ecuación que contenga derivadas. Así como al estudiar álgebra y trigonometría se
I
invierte bastantetiempo en resolver ecuaciones, como x2 + 5x + 4 = 0 con la variable x,
en este curso vamos a resolver ecuaciones diferenciales como y” + 2y’ + y = 0, para
conocer la función y. Pero antes de comenzar cualquier cosa, el lector debe aprender
algo de las definiciones y terminología básicas en este tema.
1
2
CAPíTUlO 1 INíRODUCCdN
A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
DEFINICIONES YTERMINOLOGiA
n
n
n
n
Ecuaciones diferenciales onlinarias y en derivadas parciales n orden de una ecuación
Ecuaciones lineales y no lineales W Solucibn de una ecuación diferencial
Soluciones explícitas e implícitas n Solución tn.vial n Familia de soluciones
Solución particular n Solución general n Sistemas de ecuaciones diferenciales
Ecuación diferencial
En cálculo aprendimos que laderivada, dy/a!q de la función y =
&x) e;s en sí, otra función de xZque se determina s&uiendo las reglas adecuadas; por ejemplo, si
y = 8, entonces dyldx = 2x3. Al reemplazar ti por el símbolo y se obtiene
(1)
2 = 2xy.
El problema al que nos encararemos en este curso no es “dada una función y = &), determinar
su derivada”. El problema es “dada una ecuación diferencial, como la ecuación 1,¿hay algún
método por el cual podamos llegar a la función desconocida y = $(x)?”
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.
Clasificación según el tipo
Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una
o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice
que es una ecuación diferencial ordinaria.Por ejemplo
4
&+lOy=ex y
- d2y -
4+sy,()
aPdx
son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de
una o más variables dependientes, respecto de dos o mgs variables independientes, se llama
ecuación en derivadas parciales. Por ejemplo,
-au = - av-
ay
ax
3- a2u
a2u
Y
a2
ai
son ecuaciones en derivadas parciales,Clasificación según el orden El orden de una ecuacibn diferencial (ordinaria o en
derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,
segundo
orden
4
1
primer
orden
ic?!+ 43- 4y = ex
caz ( dx 1
Sección 1 .l Definiciones y terminohgía
3-
es una ecuación diferencial de segundo orden. Como la ecuación (y - x) ch + 4x u’y = 0 se puedeescribir en la forma
4xz+y=x
si se divide entre la diferencial ~5, es un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden.
Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se suele representar mediante los
símbolos
W, Y, Y’, . . ., y’“‘) = 0.
(2)
En las explicaciones y demostraciones de este libro supondremos que se puede despejar la
derivada de orden máximo, yc”), deuna ecuación diferencial de orden n, como la ecuación (2);
esto es,
y’“’ = f(x., y, y’, . . . , y”-1’).
Clasificación según la linealidad o no linealidad Se dice que una ecuación diferencial de la forma y(“) =f(x, y, y’, . . ., y(” - ‘)) es lineal cuandofes una función lineal dey, y’,
. . ., y(” - ‘). Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma
a n (x) Q + a- l(X) d”- ‘v + . . + al(x) fa!ch+ ao y = g(x).
dr”
n
UV-l
En esta última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:
i) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia
de todo término donde aparece y es 1.
ii) Ca& coeficiente sólo depende de X, que es la variable independiente.
Las funciones dey...
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