Ecuaciones Diferenciales

Conceptos de ecuaciones diferenciales
DEFINICIONES
(MURRAY S SPIEGEL) El descubrimiento independiente del cálculo por Newton y Leibniz en elSiglo 17proporcionó el ímpetu para los grandes avances que siguieron en las matemáticas, ciencias, e ingeniería. Una de las más importantes y fascinantes ramas de las matemáticas que proporcionó el medio para las formulaciones matemáticas y soluciones devariados problemas en estas áreas se llama ecuaciones diferenciales. Con el objeto de seguir adelante, necesitamos primero algunas definiciones.
Definición 1.
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas ordinarias) la ecuaciónse llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial*(PAGINA 3,4)

Usos
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto enciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
 En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de laestructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
 La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:
donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

Ejemplo 1.
La ecuación
Dx/dy=2x+y O Ý= 2x + y
en la cual “Y” es una función desconocida de una sola variable “X” es una ecuación diferencial ordinaria. Frecuentemente escribimos y=F(x) llamamos a “X” la variable independiente, y “Y”, la cual depende de “X”la variable dependientee. Por brevedad podemos denotar el valor de y en x por y(x), y sus derivadas sucesivas por y’(x),y”(x),o simplementey ’,y ”.

Ecuaciones diferenciales Aplicadas a la economia a la Economía:
En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factores impredecibles, tales como decisionespsicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.
Oferta y Demanda
Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo unbarril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t.
El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino también de ladirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse:
D = (p(t)),p´(t)
Llamamos la función de demanda.
Similarmente, el...