Ecuaciones Diferenciales

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1. Solución
Compruebe que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial respectiva.

a. y´+ 2xy=2+x2+y2; y=x+tanx; -π2<x<π2Derivamos la solución, misma que queda así: y´=1+sec2x

Entonces la reemplazamos en la ecuación diferencial:

1+sec2x+ 2xx+tanx=2+x2+x+tanx2

1+sec2x+ 2x2+2x∙tanx=2+2x2+2x∙tanx+tan2x1+sec2x=2+tan2x

sec2x=1+tan2x

1cos2x=1+sen2xcos2x

1cos2x=cos2x+sen2xcos2x=sen2x=1cos2x

Entonces: 1cos2x=1cos2x

Dado que son iguales, entonces la función indicada SI es solución.

Soluciónb. y´´´-2y´´-y´+2y=6; y=c1℮x+c2℮-x+c3℮2x+3
Derivamos la solución, así: y´=c1℮x-c2℮-x+2c3℮2x+0
y´´=c1℮x+c2℮-x+4c3℮2x
y´´´=c1℮x-c2℮-x+8c3℮2x

La reemplazamos en laecuación y´´´-2y´´-y´+2y=6 así:

c1℮x-c2℮-x+8c3℮2x-2c1℮x-c2℮-x+4c3℮2x-c1℮x-c2℮-x+2c3℮2x+2c1℮x+c2℮-x+c3℮2x+3=6

Factorizamos:

℮xc1-2c1-c1+2c1=0

℮-x-c2-2c2+c2+2c2=0

℮2x8c3-8c3-2c3+2c3=0Entonces 6=6 .

Dado que son iguales, entonces la función indicada SI es solución.

2. Resuelva por variable separable:

4y+yx2dy-2x+xy2=0; La Factorizamos, así:

y4+x2dy=x2+y2dxy4+x2dy=x2+y2dx

y2+y2dy=x4+x2dx Entonces procedemos a integrar, así:

y2+y2dy=x4+x2dx

Sustitución 1:

u=2+x2

du=2y∙dy ⟹ du2=y∙dy
du2u=du2u=12duu=12ln u

⟹ 12ln 2+y2

Sustitución 2:z=4+x2

dz=2x∙dx ⟹ dz2=x∙dx
dz2z=dz2z=12dzz=12ln z

⟹ 12ln 4+x2

Entonces:

12ln 2+y2=12ln 4+x2

ln 2+y2=ln 4+x2+ln c

ln 2+y2-ln 4+x2=ln c

ln 2+y24+x2=ln c

2+y24+x2=c2+y24+x2=A ⟹ 2+y2=A4+x2

3. Resuelva el problema de valor inicial para la ecuación diferencial exacta:

a. cosx∙senx-xy2dx+y1-x2dy=0; y0=2

M=cosx∙senx-xy2 y N=y1-x2

Se...