Ecuaciones diferenciales

Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes

UNIDAD 3
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE n-ESIMO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES INTRODUCCIÓN 3.1 Solución de la Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Coeficientes Constantes 3.2 Solución de la Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas con Coeficientes Constantes 3.2.1 Método de los Coeficientes Indeterminados 3.2.2Método de Variación de Parámetros 3.3 Aplicaciones 3.3.1 Circuito Eléctrico RLC Serie 3.3.2 Sistemas Masa-Resorte 3.4 Sección de Problemas 3.4.1 Auto Evaluación 3.4.2 Solución de la Auto Evaluación

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Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas

Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes

Objetivos particulares de la unidad.- El alumno resolveráEcuaciones Diferenciales de nésimo Orden por diversos métodos.

INTRODUCCIÓN
En el presente capítulo se estudiarán los métodos de solución para las Ecuaciones Diferenciales de n-ésimo orden, primordialmente enfocados a las de segundo orden. Se inicia por la solución de ecuaciones diferenciales (Homogéneas y No Homogéneas) de Coeficientes Constantes. Posteriormente, para las ecuaciones diferencialesno homogéneas, se emplean los métodos de solución por variación de Parámetros y por Coeficientes Indeterminados; finalmente se aplican estos métodos de solución a problemas de circuitos eléctricos de tipo RLC (resistencia-inductancia-capacitancia) conectados en serie a una fuente de alimentación de corriente alterna o corriente directa. También, al igual que en las unidades anteriores, seincluyen problemas resueltos en forma detallada y una auto evaluación que consiste en una serie de problemas con su respectiva solución.

3.1

Solución de la Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Coeficientes Constantes

Una ecuación diferencial de la forma

an

dny d n1 y d2y dy  an1 n1  ...  a2 2  a1  a0 y  f ( x) n dx dx dx dx

Donde los coeficientes an , an1 ,..., a2 , a1 , a0son todos constantes y por lo menos uno de ellos diferente de cero, se clasifica como una ecuación diferencial de coeficientes constantes; además, si f ( x)  0 se trata de una ecuación diferencial homogénea, en caso contrario se clasifica como no homogénea. Si n  2 y f ( x)  0 se tiene una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes homogénea. Para este caso:

d2y dy a2 2  a1  a0 y  0 dx dx
Al multiplicarla por 1/a2 se obtiene la ecuación diferencial equivalente

d2y dy   y  0 2 dx dx
Donde  

(1)

a1 a2

y 

a0 a2

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Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas

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Ejemplo. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales de acuerdo a a) suscoeficientes (constantes o variables) b) homogéneas o no homogéneas c) su orden (primer orden, segundo orden, tercer orden, etc.) 1. y   4 y   3 y  10 2. y   y  0 3. y   3xy   2  0 4. x 2 y   4 xy   4 y  8x 2 5. 5 y iv  10 y   3  xy Para el problema 1 se tiene que todos los coeficientes (los términos que multiplican a la variable dependiente y sus derivadas) sonconstantes, por lo que se clasifica como ecuación diferencial de coeficientes constantes; debido a que se encuentra igualada a una expresión diferente de cero, se trata de una ED no homogénea. Finalmente, se tiene una ED de segundo orden.

Para el problema 2 los coeficientes, al igual que el ejemplo anterior son todos ellos constantes; Como f ( x)  0 , la ED es homogénea. De acuerdo a la mayor derivadaque involucra la ED, ésta es de tercer orden.

Para el problema 3 el coeficiente que afecta a la primera derivada no es constante, por lo tanto es una ED de coeficientes variables; Aparentemente se tiene una ED homogénea, sin embrago debe notarse que el termino 2 no está multiplicando a la variable dependiente o a alguna de sus derivadas, por lo tanto deberá escribirse al lado derecho de la...