ECUACIONES DIFERENCIALES

V. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales
ECUACIONES DIFERENCIALES
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
Objetivo: El alumno conocerá las ecuaciones en derivadas parciales y aplicará el método de
separación de variables en su resolución.
SUBTEMA V.4. Resolución de problemas de condiciones iniciales y de frontera: Ecuaciones de
onda, calor y Laplace con dosvariables independientes.
Introducción
En el estudio de los fenómenos naturales de la vida cotidiana, las ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales aparecen con mucha frecuencia y ellas describen los eventos que están descritos
por una función de varias variables.
Hay tres tipos importantes de problemas que se considerarán:
1.
Problemas que involucran vibraciones u oscilaciones.
2.Problemas que involucran conducción o difusión de calor.
3.
Problemas que involucran potencial eléctrico o gravitacional.
Definición de ecuación en derivadas parciales
Toda igualdad que relaciona a una función desconocida con sus variables independientes y con sus
derivadas parciales, se llama ecuación diferencial en derivadas parciales. Se representa por

donde

es la variable dependiente.Solución general
Una función
es solución general de una ecuación diferencial en derivadas parciales de
orden , si la satisface al sustituirla en ella y además involucra funciones arbitrarias diferentes;
esto es, se tiene una función de varias variables que contiene funciones univariables esenciales y
arbitrarias.
Solución particular
Una solución particular de una ecuación diferencialparcial es aquella que se obtiene de la solución
general aplicando valores en la frontera.
Método de separación de variables
1.
Se supone una función solución de la ecuación diferencial parcial
,o
bien,
.
2.
Sustituir a
y sus derivadas parciales en la ecuación diferencial parcial.
3.
Separar en cada lado de la ecuación diferencial parcial a las funciones univariables con sus
respectivasderivadas.
4.
Se igualan ambos lados de la ecuación diferencial parcial con una constante, llamada
constante de separación.
5.
Resolver las dos ecuaciones diferenciales ordinarias que se tienen.
6.
Multiplicar las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias del paso anterior, para así
obtener la solución completa de la ecuación diferencial parcial.
Es importante subrayar que: comola constante de separación no se conoce, salvo en ejercicios
escolares, se deben analizar las posibilidades del signo de dicha constante, tomando en cuenta la
información completa del experimento físico o de la aplicación en el caso real.
Limitaciones del método de separación de variables
a)
La ecuación diferencial parcial tiene que ser lineal.
b)
La solución de la ecuación diferencialparcial debe ser una función de dos variables
independientes.
Verónica Hikra García Casanova
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V. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales
Principio de superposición
Es bien conocido en la teoría de las ecuaciones diferenciales el hecho de que si cada una de las
funciones
satisfacen una ecuación diferencial parciales lineal y homogénea,
entonces toda combinación lineal deestas funciones
en donde los

son constantes, y " " también satisface la ecuación.

Condiciones de contorno
En muchos casos la solución general de una ecuación diferencial parcial se usa realmente poco
puesto que debe satisfacer otras condiciones, llamadas condiciones de contorno, que provienen de las
consideraciones físicas del problema.
Lo anterior resulta más complicado en el caso de lasecuaciones en derivadas parciales que en el caso
de las ecuaciones en derivadas ordinarias debido a la gran variedad de elecciones aceptables para las
funciones arbitrarias.
Por tal motivo, y también por el hecho de que las soluciones generales a menudo se desconocen, son
de gran importancia algunos métodos de solución como el de separación de variables, descrito
anteriormente, y el de las...