ecuaciones diferenciales















Ecuaciones Diferenciales





Autor: José Dávila
Javier Cornejo



















Objetivos


El estudio de esta guía de práctica permitirá:

Tener información básica de los diferentes temas del curso.
Disponer de ejercicios desarrollados que refuerce la teoría vista en clases.
Disponer de problemas propuestos para practicar yprepararse para los exámenes
Desarrollar criterios para elegir adecuadamente un método de solución según el tipo de problema que se tenga.
Utilizar software comercial que existe en el mercado para resolver problemas.









I ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

1.1 Introducción.
Las leyes que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma deecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es una ecuación diferencial de segundo orden, como lo es la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión, el movimiento de partículas subatómicas, etc.

1.2 Definición.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecenderivadas o diferenciales. Si una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice que es ordinaria.
Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. En este capítulo se desarrollan algunos métodos para resolver los tipos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias.

1.3 Clasificación de las ecuaciones diferenciales:
Las ecuaciones diferenciales(ED) se pueden clasificar según tres características:
A) Según el tipo
A) Según el orden
B) Según su linealidad.
A) Según el tipo
Una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sola variable independiente).
Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o variasfunciones de dos o más variables independientes).
B) Según el orden
El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más alta derivada presente en ella
Ejemplos:
1) - 5x  + 6  - 7 y = 0 Orden: 3

2)  +10  + 3t  - 5  + 6  - 7i = 0 Orden: 5

3) 6  - 7v = 15t2 + 3t + 10Orden: 1

C) Según el grado
Lo da el exponente de la máxima derivada contenida en una ED.

Ejemplos:
1) - 5x  + 6  - 7 y = 0 ED de grado: 1
2) 6  - 7v = 15 t 2 + 3 t + 10 ED de grado: 5
3) 10x2 y’’- 5y’- 7y = 9x ED degrado: 1

D) Según su linealidad.




1.4 Solución de una EDO.

Solución de una ED: una función  f(x), definida en algún intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en dicho intervalo, si al sustituirla en la ED la reduce a una identidad.
Ejemplo:
Indicar si la ecuación

Es solución de la siguiente ecuacióndiferencial:

Solución




Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser explícitas o implícitas. Una ED tiene, generalmente, un número infinito de soluciones o más bien una familia n-paramétrica de soluciones. El número de parámetros n, depende del orden de la ED. Cuando se dan valores específicos a los parámetros arbitrarios, es decir, cuando se asignan valores numéricos a losparámetros, se obtiene una solución particular de la ED.



Ejemplo:
Resolver







Problemas propuestos


1. Determinar el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-

2. Verificar si las funciones dadas son soluciones de las ED indicadas:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-

3. Hallar la ED conociendo la solución...