ecuaciones diferenciales

Capítulo 1
Ecuación Diferencial
1.1. Variables Separables
1. y0 = (x + y + 1)2
Solución:
dy
dx
= (x + y + 1)2 dt = (t2 + 1)dx
dy = (x + y + 1)2dx
dt
t2 + 1
= dx
t = x + y + 1
Z
dt
t2 + 1
=
Z
dx
dt = dx + dy arctan(x + y + 1) = x + c
dy = dt ¡ dx arctan(x + y + 1) = x + c
dt ¡ dx = t2dx x + y + 1 = tan(x + c)
2. (x ¡ 1)dx ¡ (xey + ey)dy = 0
Solución:
ey(x + 1)dy ¡ (x ¡ 1)dx= 0 ey = x ¡ 2 ln(x + 1) + c
eydy =
x ¡ 1
x + 1
dx ey = x ¡ ln(x + 1)2 + c
Z
eydy =
Z
x ¡ 1
x + 1
dx Aplicando logaritmos
ey =
Z µ
1 ¡
2
x + 1
¶
dx y = ln[x ¡ ln(x + 1)2 + c]
5
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CAPÍTULO 1. ECUACIÓN DIFERENCIAL
3. xyexdx ¡ dy = 0
Solución:
xyexdx ¡ dy = 0
xexdx ¡
dy
y
= 0 Separando variables
u = x dv = exdx
du = dx v = exIZntegrando
xexdx ¡
Z
dy
y
=
Z
0 ) xex ¡
Z
exdx ¡ ln y = c
xex ¡ ex ¡ ln y = c ) ln y = xex ¡ ex + ec
eln y = e[xex¡ex+ec]
) y = c1exex¡ex
4. (xy2 + y2)dx + xdy = 0
Solución:
y2(x + 1)dx + xdy = 0 x + ln x ¡
1
y
= c
x + 1
x
dx +
dy
y2 = 0;
Separando
variables x + ln x + c =
1
Z µ y
1 +
1
x
¶
dx +
Z
y¡2dy =
Z
0 ) y =
1
x + ln x + c
5. ydx ¡ xdy = 0
Solución:
dxx
¡
dy
y
= 0 ln
x
y
= ln c
Z
dx
x
¡
Z
dy
y
=
Z
0
x
y
= c ) y = cx
ln x ¡ ln y = ln c
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1.2. FUNCIÓN HOMOGÉNEA
1.1.1. Problemas Propuestos
1. (ln x + y3)dx = 3xy2dy
2. x7 ln xdx ¡ dy = 0
3. xex ¡ 3y2dy = 0
4. y0 = (x + 1)2
5. dy
dx
=
µ
2y + 3
4x + 5
¶2
6. dy
dx
= e3x+2y
7. y ln x
dx
dy
=
µ
y+ 1
x
¶2
8. sec2 xdy + csc ydx = 0
9. dx
dt
= 4(x2 + 1) x
³¼
4
´
= 1
10. x2 dy
dx
= y ¡ xy y(-1)=-1
1.2. Función Homogénea
Definición 1.1 (Función Homogénea) Se llama función homogénea de
grado "n" si
f(¸x; ¸y) = ¸nf(x; y)
Ejemplo 1.1 f(x; y) = xy ¡ x2
Solución:
f(¸x; ¸y) = = (¸x)(¸y) ¡ (¸x)2
= ¸2(xy) ¡ ¸2x2
= ¸2(xy ¡ x2)
f¸x; ¸y) = ¸2f(x; y)
) f(x; y) es una FunciónHomogénea de grado 2
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CAPÍTULO 1. ECUACIÓN DIFERENCIAL
Ejemplo 1.2 f(x; y) =
p
x ¡ y
Solución:
f(¸x; ¸y) =
p
¸x ¡ ¸y
f(¸x; ¸y) =
p
¸(x ¡ y) =
p
¸
p
x ¡ y = ¸
1
2
p
x ¡ y
) f(x; y) es Función Homogénea de grado 1
2
Ejemplo 1.3 h(x; y) = sen y
x
¡ 5
Solución:
h(¸x; ¸y) = sen ¸y
¸x
¡ 5
= sen y
x
¡ 5
= ¸0
³
seny
x
¡ 5
´
) h(x; y) es Función Homogénea de grado cero
Ejemplo 1.4 f(x; y) = e
x2+y2
xy¡y2
Solución:
f(¸x; ¸y) = e
(¸x)2+(¸y)2
(¸x)(¸y)¡(¸y)2 = e
¸2x2+¸2y2
¸2xy¡¸2y2
= e
¸2(x2+y2)
¸2(xy¡y2) = ¸0e
x2+y2
xy¡y2
) f(x; y) es función homogénea de grado cero
Ejemplo 1.5 f(x; y) = x2 +
x4
x2 + y2
f(¸x; ¸y) = ¸2x2 +
¸4x4
¸2(x2 + y2)
= ¸2
µ
x2 +
x4
x2 + y2
¶
f(x; y) esfunción Homogénea de grado 2
Ejemplo 1.6 f(x; y) = arctan
y
x
+
x
x + y
f(¸x; ¸y) = arctan
¸y
¸x
+
¸x
¸x + ¸y
f(¸x; ¸y) = arctan
y
x
+
x
x + y
= ¸0
µ
arctan
y
x
+
x
x + y
¶
f(x; y) es función homogénea de grado cero
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1.3. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
1.2.1. Problemas Propuestos
1. Analizar si lasfunciones son Homogéneas
a) f(x; y) =
r
x
x + y
b) f(x; y) = e
x
y + 2
c) f(x; y) = x3y2 + y5
d) f(x; y) =
1 p
x3 ¡ yx2
1.3. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
La ecuación Diferencial de Primer Orden
M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0
es una ecucuación diferencial homogénea si solamente si la función M(x; y)
y N(x; y) son funciones Homogéneas de igual grado.
M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0Ecuación diferencial Homogénea
M(x; y) =? N(x; y) =?
M(¸x; ¸y) = ¸nM(x; y) Condición Euler
N(¸x; ¸y) = ¸nN(x; y)
Si ¸ =
1
x
ó ¸ =
1
y
M
³
1;
y
x
´
=
1
xnM(x; y)
Despejeando M(x; y)
M(x; y) = xnM
³
1;
y
x
´
M(x; y) = xnM
³y
x
´
N
³
1;
y
x
´
=
1
xnN(x; y)
Despejando N(x; y)
N(x; y) = xnN
³
1;
y
x
´
N(x; y) = xnN
³y
x
´
Reemplazando en la Ecuación...