Ecuaciones Diferenciales

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE MECANICA
ESCUELA DE INGENIERIA DE MANTENIMIENTO

Nombre. Anderson Mora C. COD. 800
Fecha. 12-Diciembre-2011

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SUGUNDO ORDEN

Movimiento Armónico Simple (RESORTES)

Supóngase que un cuerpo de masa m está sujeto al extremo de un resorte flexible (depeso despreciable), suspendido de un soporte rígido.
Cuando el peso está en reposo, describimos su posición como la posición de equilibrio.
Si el cuerpo se desplaza hacia abajo una cierta distancia y luego se suelta, estará bajo
un movimiento vibratorio alrededor de la posición de equilibrio (ver figura 5.1). Nuestro
propósito es estudiar el movimiento del cuerpo, conocido como movimientoarmónico
simple, en el cual se ignora cualquier fuerza de fricción con el medio que lo rodea.

En este caso, las únicas fuerzas que actúan son:

• Una fuerza de restitución, /r , opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional
a su magnitud (Ley de Hooke). En términos simples fr = kd, donde k es
una constante de proporcionalidad y d la magnitud del alargamiento.

• El peso del cuerpo,dado por W = mg.

Adoptaremos la siguiente convención. Todas las cantidades (desplazamiento, velocidad,
aceleración y fuerza), medidas hacia abajo desde la posición de equilibrio se
considerarán como positivas. Las que se miden hacia arriba, son negativas.
En la posición de equilibrio

mg — ks = 0.

Ahora, al desplazar el cuerpo de esta posición en una magnitud x y soltarla, de la SegundaLey de Newton se sigue que

md2xdt2=mg-ks+x
=mg-ks-kx

y usando la condición de equilibrio, resulta

md2xdt2=-kx

El signo negativo indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en dirección opuesta
a la del movimiento.
Podemos escribir la ecuación (5.1) en la forma

d2xdt2+kmx=0

O bien
d2xdt2+w2x=0

Donde w2=k/m.

La ecuación (5.2) es la ecuación diferencial delmovimiento armónico simple
o movimiento vibratorio no amortiguado.
Hay dos condiciones iniciales asociadas con (5.2), a saber

x0=x0 x´0=v0

que representan el deplazamiento y velocidad iniciales, respectivamente. Por ejemplo, si
Xo <0 y Vo > 0 entonces el movimiento se inicia en un punto que está |Xo| unidades
arriba de la posición de equilibrio y con una velocidadinicial dirigida hacia abajo.
Si Xo >0 y V0 = 0, la masa está inicialmente en reposo a Xo unidades abajo de la posición
de equilibrio.
La ecuación auxiliar de (5.2) es
r2+w2=0,

Cuyas raíces son imaginarias puras

r1=wi, r2=-wi

En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial (5.2) es

xt=c1coswt+ c2sen wt

Donde C1 y C2son constantes que dependende Xo y Vo
Nótese que independientemente de los valores de C1 y C2, la ecuación del movimiento
armónico simple (5.3), define una función periódica de periodo T = 2πw y describe un
movimiento ideal en el que el cuerpo se mueve alternadamente hacia arriba y hacia abajo
de la posición de equilibrio, infinitas veces.
El periodo T es el tiempo necesario para que se complete un ciclo y surecíproco
f=1Tse llama la frecuencia. El desplazamiento máximo del cuerpo, medido desde
la posición de equilibrio, se llama la amplitud.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1.
Se encontró experimentalmente que un peso de 4 lb estira un resorte 6
pulgadas. Si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida
hacia abajo de 4 pulg/s, determine:
a) La ecuación diferencial y condicionesiniciales que describen el movimieno.
b) La ecuación del movimiento.
c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después.
d) El periodo, la frecuencia y la gráfica de la solución.
Solución. Ya que 6 pulgadas equivalen a 1/2 ft, de la Ley de Hooke tenemos que

4=(k)(12)

De donde
k=8lbft

Además m = W/g = 4/32 = 1/8 slug.
a) Luego, de (5.2), la ecuación diferencial...