Ecuaciones Diferenciales

UNIVERSIDAD YACAMBÚ FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS BÁSICOS

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Elaborado por: Ing° Nelis Lucena Junio de 2012

Elaborado por: Ing° Nelis Lucena

Ecuaciones Diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona a una función desconocida y una o más derivadas (razones de cambio infinitesimales) de esta función desconocida con respecto a una e o másvariables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial. , Nuestra atención se centrará en ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinaria, entonces, es aquella que tiene a y como variable ordinaria x como variable independiente y se puedeexpresar de la siguiente forma: dependiente y a independi F ( x, y, y ' , y ' ' ,....., y ( n ) ) = 0 para algún entero positivo n . 2 Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su orden o linealidad, como veremos. El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de mayor orden que aparece en laecuación. Por ejemplo:
dy = 2x dx

y' = −

x y

Son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, en estas ecuaciones es posible pr despejar la razón de cambio e integrar con facilidad, otro ejemplo de ecuaciones diferenciales es d2y + y=0 dx 2 Esta es una ecuación diferenci de segundo orden, llamada así por el orden de la derivada. diferencial El grado de una ecuación diferencial es elexponente de la derivada de mayor orden que en ella aparece. Ejercicio: Encontrar el grado "n" de las siguiente ecuaciones diferenciales
y´´2 = (1 + y´)2 d 3 y dy + = 4e x dx 3 dx

d5 f − e 2t = 2 f 5 dt Una solución de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que define a una de ellas como función de la otra y que satisface a la Ecuación Diferencial. Por ejemplo:

y =C1 x Cos( x Lnx) + C 2 x Sen( x Lnx) + x Lnx , es una solución de la Ecuación

Elaborado por: Ing° Nelis Lucena

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Diferencial x 2 Veamos:
dy = (C 2 − C1 ) Sen Lnx + (C 2 + C1 )Cos Lnx + Lnx + 1 dx

d2y dy − x + 2 y = x Lnx 2 dx dx

Sen Lnx Cos Lnx 1 d2y = −(C 2 + C1 ) + (C 2 − C1 ) + 2 x x x dx
Sustituyendo los valores en la ecuación diferencial originalencontramos que la relación de variables satisface a la Ecuación Diferencial Problemas propuestos Verificar las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales: a) y 2 − 4 x = 0 es solución de x( y ' ) 2 − 1 = 0 b) d 2 y 1 dy 2 − + = 0 es solución de y = C1 + 2 x + C 2 x 2 2 x dx x dx

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En estos ejemplos la solución en a) viene dada en forma implícita y en b) en forma explícita. También seobserva que la solución en b) tiene dos constantes arbitrarias C1 y C2. Solucionar, o como dicen algunos autores, integrar una Ecuación Diferencial significa: Encontrar la solución general: Esta solución queda expresada con una o más constantes arbitrarias. En caso de que la ecuación sea lineal de orden “n”, la solución general se logra como combinación lineal de las “n” soluciones (tantas comoel orden de la ecuación), por lo tanto contiene “n” constantes arbitrarias. Encontrar la solución particular: Esta solución se consigue a partir de la solución general, en donde la constante arbitraria (o constantes arbitrarias) recibe un valor específico. Se hace fijando cualquier punto P( x0 , y 0 ) , llamado condición inicial, valor inicial o de Cauchy, o también cualquier otro punto P ( x, y ), llamado condición de frontera, valor en la frontera o de Dirichlet, por donde debe pasar la solución de la ecuación diferencial y donde existe un único valor para las constantes arbitrarias. Ejemplo: y = C1 Cos x + C 2 Sen x Es la solución general de solución particular si y = 2 y
dy = −1 cuando x = 0 dx

d2y + y = 0 , encontrar la dx 2

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