Ecuaciones diferenciales

Breve historia de las ecuaciones diferenciales

Estas notas pretenden mostrar una breve historia de las ecuaciones diferenciales. Se ha pretendido dar m´s ´nfasis a las ideas que a a e las biograf´ de los matem´ticos creadores de ıas a la teor´ En la siguiente direcci´n ıa. o http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk se halla una colecci´n de biograf´ de los o ıas matem´ticos m´s famosos. a a La mayorparte de estas notas hist´ricas o est´ sacadas de [1]. a

6

ds dx

dy
-

Figura 1: El tri´ngulo caracter´ a ıstico. En 1690, Jacques Bernouilli plante´ el proo blema de encontrar la curva que adopta una cuerda flexible, inextensible y colgada de dos puntos fijos, que Leibniz llam´ catenaria (del o lat´ cadena). Galileo pens´ que esta curın o va era una par´bola, mientras que Huygens aprob´ que esto no era correcto. o
6 c c

1. Ecuaciones diferenciales de 1er orden
Los primeros intentos para resolver problemas f´ ısicos mediante el c´lculo diferencial a a finales del siglo XVII llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matem´ticas, a a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales se convirtieron en una rama independientey su resoluci´n un fin en s´ mismo. o ı Ya Newton (los creadores del c´lculo ina finitesimal fueron Leibniz y Newton) observ´ que si dn y/dxn = 0, entonces y(x) es o un polinomio de grado n − 1, en particular, y depende de n constantes arbitrarias, aunque esta afirmaci´n tuvo que esperar hasta el siglo o XIX para poder ser demostrada con rigor (la demostraci´n est´ndar actual usa el teorema o a delvalor medio). Los matem´ticos de la ´poca a e con frecuencia usaban argumentos f´ ısicos: si y(t) denota la posici´n en el tiempo t de una o part´ ıcula, entonces dy/dt es su velocidad. Si dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es decir, la part´ ıcula no se mueve y su posici´n, o por tanto, permanece constante. En 1693 Huygens habla expl´ ıcitamente de ecuaciones diferenciales y en elmismo a˜o, n Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales son funciones de elementos del tri´ngulo caa racter´ ıstico. 1

a

b

-

Figura 2: Una catenaria. En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli publicaron soluciones independientes. La de Jean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mec´nica: a Consideremos un cable homog´neo sujeto e por sus dos extremos (quesuponemos a la misma altura) y que distan 2a uno del otro y sea ρ la densidad del cable. Sea y = y(x) la funci´n que describe la posici´n del cable. Por o o conveniencia se asumir´ que la altura m´ a ınima del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras, y (0) = 0).

s

6

a

s

A partir de ahora, denotaremos c = gρ/ T0 . Como (v´ase la figura 1) e dy/dx = tan θ, (ds)2 = (dx)2 + (dy)2 ,y T0 

θ

c   

c 

3   T 

si derivamos (respecto a x) la ecuaci´n (1), se o obtiene
-

x

d2 y =c dx2

(dx)2 + (dy)2 . dx

O escrito de otro modo, Figura 3: Deducci´n de la ecuaci´n de la cateo o naria. d2 y =c 1+ dx2 dy dx
2

.

Sea (x, y) un punto arbitrario del cable (por Por supuesto, esto es una ecuaci´n de segundo o conveniencia lo situamos en el tramopositivo orden; pero haciendo el cambio v = dy/dx, se de las x; en otro caso, el razonamiento es comconvierte en pletamente igual) y pensemos en las fuerzas dv que act´an en el trozo de cable desde el punu = c 1 + v2. (2) dx to de altura m´ ınima hasta (x, y): Problema 1: Resuelva la ecuaci´n (2). Use o El peso P. Si m es la masa y s es la lon- ahora y (0) = 0 para deducir que la ecuaci´n de o gituddel trozo considerado del cable, se la catenaria es tiene m = ρs y por tanto, P = (0, −gρs), 1 donde g es la aceleraci´n terrestre. o y(x) = cosh(cx) + B, (3) c La fuerza T0 que ejerce la parte izquierda donde B es una constante arbitraria. ¿Qu´ sige del cable sobre el punto de altura m´ ıni- nificado f´ ısico o geom´trico posee B? e ma. Se tiene T0 = (− T0 , 0) El siguiente problema propone otra...