Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

FACTOR INTEGRANTE DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Sea la ecuación diferencial no exacta:



Podemos introducir un factor integrante μ para convertirla enexacta, con lo que tenemos:



Y a partir de ahí podemos poner:



El factor integrante se define como una función μ(x,y) tal que al multiplicar la ecuación diferencial dada por ella, setransforma en una ecuación diferencial exacta. Aplicando el factor integrante se debe tener:



En principio, la ecuación resultante es una ecuación en derivadas parciales, más difícil que la quedeseamos resolver; no obstante, como no nos interesa conocer todos los factores integrantes sino solo algunos, podemos determinar los casos más sencillos como, por ejemplo μ = μ(x) para el que se tiene:Y la integral se podrá resolver si se cumple:



Así, por ejemplo, para la ecuación:



Podemos poner:



Con lo que la ecuación queda en la forma:



De forma análogapodemos calcular los factores integrantes que sólo dependan de y, para lo cual se ha de cumplir:



Otro caso sencillo para calcular el factor integrante es aquel que cumple:



Es decir, que μes solo función de una función que liga de forma sencilla a las variables, tal como por ejemplo x+y ó x.y. En este caso se tiene:



Los casos anteriores son casos particulares de este. Así en elcaso de que v(x,y) = x tenemos:



Para los otros dos ejemplos que hemos considerado tenemos:



Si la función U(x,y) = C es una solución de la ecuación diferencial



Entonces lafunción



Es un factor integrante.

Demostración.- Tenemos:



Y a partir de ahí:



Recíprocamente, podemos decir que si la ecuación diferencial anterior tiene un factor integrante,este será de la forma dada por (*).

Una vez hallado un factor integrante, μ(x,y) y determinado con su auxilio el haz integral en la forma U(x, y) = C, es fácil ver que el producto μγ(U) , donde γ...