ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES
El estudio de las Ecuaciones Diferenciales es tan viejo como el del Cálculo mismo. En
1671 Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de “Fluxiones” (Una fluxión viene a
ser la derivada de una “fluyente”, el cual es el nombre que Newton daba a un variable
dependiente). Su investigación se relacionó con “Ecuaciones Fluxionales” que ahora
llamaríamos ecuacionesdiferenciales. Él dividió a las ecuaciones diferenciales en tres
categorías. En la primera, estas tendrían a forma dy/dx = f(x) o dy/dx = f (y). En la
segunda, tendrían la forma dy/dx = f(x, y). Y en la tercera categoría están las ecuaciones
diferenciales parciales. El método de solución desarrollado por él fue el de series de
potencias el cual consideró un método “universalmente válido”.
Elmatemático y filosofo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) también trabajó en
ecuaciones diferenciales; encontró el método para las ecuaciones diferenciales lineales
de primer orden. En 1690, Jakob Bernoulli (1654-1705) mostró que el problema de
determinar la isócrona (curva vertical plana en la cual una partícula que se deslice sobre
ella hasta el fondo tardará un tiempo fijo que no depende delpunto inicial) es
equivalente a resolver una ecuación diferencial de primer orden no lineal; él la resolvió
por el método de variables separables (el método general sería enunciado por Liebniz).
El artículo de Bernoulli se convirtió en una “milestone” en la historia del Cálculo.

Definición [Ecuación Diferencial]

Una ecuación diferencial (ED) es
una ecuación que relaciona de
manera notrivial a una función
desconocida y una o más
derivadas
de
esta
función
desconocida con respecto a una o
más variables independientes. Si
la función desconocida depende
de una sola variable la ecuación
diferencial se llama ordinaria , por
el contrario, si depende de más de
una variable, se llama parcial .

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas, punto. Lasecuaciones diferenciales ordinarias contienen derivadas de funciones que dependen de
una sola variable independiente. Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando
se ha reducido a una expresión en términos de integrales, puedan o no resolverse las
mismas.

Clasificación

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias se dividen en lineales y no-lineales. Son lineales
si todos sustérminos son lineales respecto a la variable dependiente y sus derivadas. De
lo contrario, no es lineal. Recordemos que para que un término sea lineal, debe estar
expresado de forma que al graficarlo nos quede una línea recta. Osea que y², y³, e^y,
log(y) NO son lineales. Así mismo, las EDO se dividen en homogénea y no homogénea. Es
homogénea si no contiene términos que dependen únicamente de suvariable
independiente.
Ecuaciones Diferenciales de 1er orden
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial
ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable
independiente. Osea que, en geometría analítica, tendrían la forma de las ecuaciones de
primer grado. Éstas son las ecuaciones diferenciales más sencillas y no se necesitan
muchoscálculos. Existen básicamente 7 formas en que se presentan estas ecuaciones de
primer orden, en las cuales no se hace más que aplicar álgebra y cálculo elemental.
1. ECUACIÓN DIFERENCIAL SEPARABLE
y' = F(x, y). General
Esta forma es la más fácil de las Ecuaciones Diferenciales. Lo único que tenemos que
hacer es acomodarla de tal forma que en un lado de la igualdad nos quede dx y del otro
dycon sus respectivas variables. Es separable si el segundo miembro de la diferencial la
podemos expresar como el producto de 2 funciones. Una que dependa solo de la variable
dependiente y otra que contenga sólo la variable independiente. O sea: y'= f(x)*g(x)
2. ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL
y' + P(x)y = g(x) -no es separable
3. ECUACIÓN EXÁCTA
M(x,y)+N(x,y)y' = 0
Es exácta cuando My = Nx....