ECUACIONES DIFERENCIALES

Páginas: 6 (1322 palabras) Publicado: 6 de junio de 2014
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellasque contienen derivadas respecto a dos o más variables.
El nacimiento de la ciencia de ecuaciones diferenciales se fijaría en el 11 de de noviembre de 1675, cuando Leibnitz asentó en un papel la ecuación
Integral de y diferencial de y igual a la mitad del cuadrado de y 1
Newton formuló la ley de la gravitación, resolviendo después el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente paraprobar que la Tierra se mueve alrededor del Sol, describiendo aproximadamente una elipse, uno de cuyos focos es el Sol.
Maxwell concibió una relación entre corriente eléctrica y el campo magnético correspondiente.
Las ecuaciones diferenciales han cumplido un rol destacado en el desarrollo de las teorías de radio, radar, televisión y electricidad general.
Por ejemplo se considera la ley, apoyada enexperiencias, de que el radio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad de radio presente, hecho que se describe mediante la ecuación
\frac{dQ}{dt} = kQ , Q la cantidad de radio es función del tiempo t; de modo que Q = Q(t). 3
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunosejemplos de ecuaciones diferenciales son:

\,y'= 2xy + 1
es una ecuación diferencial ordinaria, donde \,y representa una función no especificada de la variable independiente \,x, es decir, \,y=f(x), y'=\frac{dy}{dx} es la derivada de \,y con respecto a \,x.
La expresión \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}=0
es una ecuación en derivadas parciales.
A la variabledependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
Orden de laecuación[editar]
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

Grado de la ecuación[editar]
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ecuación diferencial lineal[editar]
Se dice que una ecuación es lineal sitiene la forma \, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x), es decir:

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:

\,y'= y es una ecuacióndiferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones y = f(x) = k \cdot e^x , con k un número real cualquiera.
\,y'' + y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = a \cos (x) + b \sin (x)\,, con a y b reales.
\,y'' - y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones \,a \cdot e^x+b\cdot 1/(e^x), con a y b reales.
Usos[editar]
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

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