Ecuaciones diferenciales

MATEMÁTICA II
INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES es una rama muy importante de las matemáticas, pues proporciona el medio para las formulaciones matemáticas y soluciones de múltiples fenómenos de la ciencia y la ingeniería (ya sean económico, biológicos, físico, químicos, etc.) con la finalidad de comprender mejor el comportamiento de la naturaleza y mundo quenos rodea. Un objeto se libera desde una altura determinada (por encima del nivel del suelo) y cae bajo la fuerza de la gravedad. (en este caso supondremos que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre el objeto, y que esta fuerza es constante). Otros modelos más generales considerarían otras fuerzas, como la resistencia del aire. Podemos aplicar al objeto que cae la 2ª Ley de Newton, la cualestablece que la masa de un objeto por su aceleración es igual a la fuerza total que actúa sobre él. F Esto lleva a la siguiente ecuación:

ma

ma

mg

..........1) (

Sea h(t ) una función que representa la altura del objeto en el tiempo t . Luego al derivar la función altura, h' (t ) obtenemos la velocidad con que el objeto cae en un instante t . Finalmente al derivar por segunda vezh' ' (t ) obtenemos la aceleración con el objeto cae en un instante t . Por notación utilizamos h' ' (t )

d 2h dt 2

; luego al reemplazar la aceleración en la ecuación ( 1 )

obtenemos la siguiente ecuación diferencial: Definamos ahora una Ecuación Diferencial

d 2h dt 2

g

Definición.- Una ECUACION DIFERENCIAL es una ecuación que contiene derivadas de una función desconocida ovariable dependiente con respecto a una o más variables independientes. Ejemplos.

d3y 1.- x 3 dx
2.- m

dy 8 dx
mg

5x

x

2

u 6.t
7.

2

u

x2
y

Q( x, t )

d2y dt
2

k

dy dt

dy dx

2senx -

María Elena Cotrina León

1

MATEMÁTICA II
2

3.-

u

t2 d2y dx 2

c2

u x2 ( x 1)

2

0 dy x

8.-

dy dx

3

d2y dx 2

0

4.- x

2yx2

x 5

9.- x 2 y ' ' xy' e x

cos x

d 2x 5.dt

4

x

t

10.- m

d2y dt 2

ky

NOTA Siempre que un modelo matemático implique la “razón de cambio de una variable con respecto de otra”, es probable que aparezca una ECUACION DIFERENCIAL. Ejemplos:

1.-

dy dx

2

y 3 / 2 1 y 3 / 2 ; Modelo del aprendizaje de una tarea en este caso la función

incógnita y constantes2.-

(x) representa el nivel de habilidad del estudiante como función del tiempo, las

,

dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.

dW dx

W 4 2W ; modelo sencillo de la forma de un tsunami o maremoto, W (t )

0 es

la altura de la ola en función de su posición relativa a un punto determinado en alta mar.

3.- Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudadcambiará a una razón de

4 5t 2 / 3 personas por mes; la razón de cambio de la población queda escrita de la forma
por lo tanto la ecuación diferencial que describe este fenómeno es:

dP , dt

dP dt

4 5t 2 / 3
minutos es

4.- Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de t

v(t ) 1 4t 3t 2 metros por minuto; debido a que la velocidad es la razón de cambio de la
distanciacon respecto del tiempo v fenómeno será:

dD , entonces la ecuación diferencial que describe este dt dD dt

1 4t 3t 2

María Elena Cotrina León

2

MATEMÁTICA II
u 5.t
2

u

x2

Q( x, t ) ; ecuación de calor de una barra delgada

Para comenzar nuestro estudio de las Ecuaciones Diferenciales necesitamos cierta terminología común. Si una ecuación implica la derivada de unavariable con respecto de otra, entonces la primera se llama variable dependiente y la segunda variable independiente.

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican en ORDINARIAS y PARCIALES: a) Una ecuación diferencial que solo tiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se llama ECUACIÓN...