ecuaciones diferenciales
Páginas: 5 (1157 palabras)
Publicado: 7 de noviembre de 2014
Tema 2: Ecuaciones Lineales de Orden Superior
Objetivos
Resolver Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior.
Presentar los diferentes Métodos de solución de una Ecuación Diferencial de orden superior y aplicarlo en la resolución de Problemas
Sistema de conocimientos
1. Definiciones básicas.
Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación del tipo , una función y = y(t)es su solución si y(t) satisface la ecuación diferencial, es decir,
Además a la ecuación diferencial, con frecuencia se imponen condiciones iniciales sobre y(t) del tipo y(t0) = y0; y´(t0) = y´0, por lo que a la ecuación diferencial junto con las condiciones iniciales se les conoce como un problema de valor inicial.
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden son un poco mas difíciles deresolver, pero aquellas que tiene la forma se conocen como Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden
Ejemplo:
La ecuación es de segundo orden.
La función y(t) = cost es solución de la ecuación , debido a que .
La ecuación diferencial lineal homogénea de segundo grado, tiene la estructura
con
Teorema de Existencia y Unicidad:
Sean p(t) y q(t) funciones continuas en el intervalo
Definición: Un operador L que asigna funciones a otras funciones yque satisface las propiedades siguientes se llama Operador Lineal.
2. Dependencia Lineal e Independencia Lineal de las ecuaciones
Dependencia Lineal: Dos funciones y1(x), y2(x) son linealmente dependientes en un intervalo abierto, donde ambas están definidas, si son proporcionales en dicho intervalo, es decir, si y1 = k1y2 o y2 = k2y1 donde k1 y k2 son constantes diferentes de CERO.Independencia Lineal: Si las funciones y1(x), y2(x) no son proporcionales en el intervalo, son linealmente independientes en el mismo intervalo.
Las funciones y1(x), y2(x), son linealmente dependientes en un intervalo, si y solo si el cociente y1/y2 es una constante en el intervalo. Si y1/y2 depende de la variable x en el intervalo entonces y1, y2 son linealmente independientes en elintervalo.
Definición: Las funciones y1(x), y2(x), ..., yn(x) son linealmente dependientes en el intervalo (a, b) si al menos una de ellas puede expresarse como combinación lineal de las otras. En caso contrario, las funciones son linealmente independientes.
Ejemplos:
Dadas las funciones determinar si son linealmente dependientes o independientes
1. y1 = e-2x, y2 = (1/4) e-2x (L D)
2. y1 =e-2x, y2 = e2x (L I)
3. y = c1e-2x+c2 e2x es solución de y´´ - 4y = 0 (forman sistema fundamental de soluciones en R)
3. Determinante de WronsKy (Wronskiano).
Sean y1, y2, y3, …, yn funciones que admiten derivadas hasta el orden (n-1), continuas en el intervalo [a ≤ x ≤ b]
Se llama Wronskiano de estas funciones.
Sean f(x) y g(x) funciones continuas en [a, b], sean y1(x), y2(x) dossoluciones en ese intervalo de y´´ + f(x)y´+ g(x) = 0, entonces y1, y2 son linealmente independientes en ese intervalo si y solo si W(y1, y2, …yn)(x) es diferente de CERO para toda x en [a, b].
Ejemplos:
Hallar el Wronskiano de las funciones dadas
1. Y1(x) = cos x, Y2(x) = sen x, Y3(x) = 1 1
2. Y1(x) = e-5x, Y2(x) = ex, Y3(x) = e2x 42e-2x
3. Y1(x) = cos(x – π/2), Y2(x) = sen(x + π/2),Y3(x) = sen x
4. Principio de superposición o linealidad.
Teorema:
Sean y1(t) y y2(t) dos soluciones de una EDLH en el intervalo < t < , con y1(t)y´2(t) – y´1(t)y2(t) diferente de CERO en el mismo intervalo, entonces y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) es la solución general de la EDLH, donde c1, c2 pertenecen a los números reales.
5. Soluciones de ecuaciones Lineales.
Conjunto...
Objetivos
Resolver Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior.
Presentar los diferentes Métodos de solución de una Ecuación Diferencial de orden superior y aplicarlo en la resolución de Problemas
Sistema de conocimientos
1. Definiciones básicas.
Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación del tipo , una función y = y(t)es su solución si y(t) satisface la ecuación diferencial, es decir,
Además a la ecuación diferencial, con frecuencia se imponen condiciones iniciales sobre y(t) del tipo y(t0) = y0; y´(t0) = y´0, por lo que a la ecuación diferencial junto con las condiciones iniciales se les conoce como un problema de valor inicial.
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden son un poco mas difíciles deresolver, pero aquellas que tiene la forma se conocen como Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden
Ejemplo:
La ecuación es de segundo orden.
La función y(t) = cost es solución de la ecuación , debido a que .
La ecuación diferencial lineal homogénea de segundo grado, tiene la estructura
con
Teorema de Existencia y Unicidad:
Sean p(t) y q(t) funciones continuas en el intervalo
Definición: Un operador L que asigna funciones a otras funciones yque satisface las propiedades siguientes se llama Operador Lineal.
2. Dependencia Lineal e Independencia Lineal de las ecuaciones
Dependencia Lineal: Dos funciones y1(x), y2(x) son linealmente dependientes en un intervalo abierto, donde ambas están definidas, si son proporcionales en dicho intervalo, es decir, si y1 = k1y2 o y2 = k2y1 donde k1 y k2 son constantes diferentes de CERO.Independencia Lineal: Si las funciones y1(x), y2(x) no son proporcionales en el intervalo, son linealmente independientes en el mismo intervalo.
Las funciones y1(x), y2(x), son linealmente dependientes en un intervalo, si y solo si el cociente y1/y2 es una constante en el intervalo. Si y1/y2 depende de la variable x en el intervalo entonces y1, y2 son linealmente independientes en elintervalo.
Definición: Las funciones y1(x), y2(x), ..., yn(x) son linealmente dependientes en el intervalo (a, b) si al menos una de ellas puede expresarse como combinación lineal de las otras. En caso contrario, las funciones son linealmente independientes.
Ejemplos:
Dadas las funciones determinar si son linealmente dependientes o independientes
1. y1 = e-2x, y2 = (1/4) e-2x (L D)
2. y1 =e-2x, y2 = e2x (L I)
3. y = c1e-2x+c2 e2x es solución de y´´ - 4y = 0 (forman sistema fundamental de soluciones en R)
3. Determinante de WronsKy (Wronskiano).
Sean y1, y2, y3, …, yn funciones que admiten derivadas hasta el orden (n-1), continuas en el intervalo [a ≤ x ≤ b]
Se llama Wronskiano de estas funciones.
Sean f(x) y g(x) funciones continuas en [a, b], sean y1(x), y2(x) dossoluciones en ese intervalo de y´´ + f(x)y´+ g(x) = 0, entonces y1, y2 son linealmente independientes en ese intervalo si y solo si W(y1, y2, …yn)(x) es diferente de CERO para toda x en [a, b].
Ejemplos:
Hallar el Wronskiano de las funciones dadas
1. Y1(x) = cos x, Y2(x) = sen x, Y3(x) = 1 1
2. Y1(x) = e-5x, Y2(x) = ex, Y3(x) = e2x 42e-2x
3. Y1(x) = cos(x – π/2), Y2(x) = sen(x + π/2),Y3(x) = sen x
4. Principio de superposición o linealidad.
Teorema:
Sean y1(t) y y2(t) dos soluciones de una EDLH en el intervalo < t < , con y1(t)y´2(t) – y´1(t)y2(t) diferente de CERO en el mismo intervalo, entonces y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) es la solución general de la EDLH, donde c1, c2 pertenecen a los números reales.
5. Soluciones de ecuaciones Lineales.
Conjunto...
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