Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias
Fecha de primera versión: 21-00-00
Fecha de última actualización: 07/06/2006

Clasificación
La primera clasificación de las ecuaciones diferenciales se haceutilizando el orden de la ecuación.
El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial.
Ecuaciones de primer orden lineales
De variables separadasSon de la forma P(x) dx + Q(y)dy = 0
Son las más sencillas de integrar. Sólo tenemos que pasar al otro lado del signo igual uno de los sumandos e integrar en los dos lados.
xdx + 2y2dy = 0 xdx =-2y2dy Integrado en los dos lados, nos queda: x2/2 = -2/3y3 + C
Ecuaciones separables
Sea la ecuación diferencial dy/dx = H(x,y). Supongamos que H(x,y) = f(x)/g(y), entonces la ecuación inicial seconvierte en:
f(x)dx = g(y)dy que ya podemos integrar.  
Ecuaciones homogéneas
Son aquellas en las que y' es una función homogénea de grado cero de x e y (es decir, el grado de todos los términos es elmismo).
(x2 - y2)dx + 2xydy = 0. Dividiendo por x2 nos queda (1 - y2/x2)dx + 2y/xdy = 0. Haciendo el cambio y/x = u y derivando (y = ux) nos queda y' = u + u'x (1 - u2)dx + 2udy = 0 1 - u2 + 2u(u +u'x) = 0 Operando nos queda u + u'x = (u2 - 1)/(2u) x du + (1 + u2)/(2u)dx = 0 Esta ecuación diferencial es del tipo de variables separadas.
Ecuaciones reducibles a homogéneas
Son aquellas quemediante un cambio de variable se convierten en homogéneas.
Diferenciales exactas
Dada la ecuación diferencial P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. Si se cumple P'y = Q'x la ecuación es una diferencial exacta.Reducibles a diferencial exacta
Se convierten a diferencial exacta haciendo una transformación.
Ecuación lineal
Son las ecuaciones de la forma y' + X(x)y = F(x)
Ecuación de Bernoulli
Son lasecuaciones de la forma y' + X(x)y = F(x) yn  
Ecuación de Riccati
Son del tipo y' = X1(x) + X2(x)y + X3(x)y2
Ecuaciones de primer orden no lineales
Resolubles en y'
Son de la forma:
a0(x,y) y 'n +...