ecuaciones diferenciales

ECUACIONES  DIFERENCIALES 

UPC Online

Unidad 1
Material de trabajo autónomo 2

GUÍA DE PROBLEMAS  1

Instrucciones
• Es importante que revises este material con
detenimiento y que lo relaciones con los conceptos
desarrollados en clase y con tus experiencias previas.
• Te sugerimos leer también:
– Capítulo 2, páginas: 44‐60, ejercicios 2.3 problemas:
1‐36,
– Capítulo 3, páginas:83, 94 y 95, ejercicios 3.2
problemas: 1‐10
del libro Zill Dennis (2009) Ecuaciones diferenciales con
aplicaciones de modelado, 9ª edición Cengage Learning.
México, DF.

1

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Al finalizar esta sesión online, estarás
preparado para resolver ecuaciones
diferenciales de variables separables y
lineales.

Temario
1

2

3Conceptos de solución de 
una EDO
Ecuación diferencial de 
variables separables
EDOL de primer orden
(Factor integrante)

4

Problemas de modelación

2

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Recuerda que…
• Por identidades trigonométricas se tiene:

sen 2 x  cos 2 x  1
sec 2 x  1  tan 2 x
• La pendiente de un segmento de recta que
yQ ,
es:
pasa por los puntos P,

Pendiente del segmento PQ  m 

y2  y1
x2  x1

1

Conceptos de solución de una 
EDO

3

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Problema 1
Compruebe si la función dada satisface la ecuación
diferencial dada:

y  tan x;

y '  1 y2

función

Ecuación diferencial

Solución (problema 1)
Si:

y  tan x  y '  sec2 x  1  tan 2 x

Luego:

y '  1 y2Problema 2
Construya una EDO que tenga a las familias de
curvas dadas como solución general:

y  x2 

A
x

Solución (Problema 2)
A
. Para eliminar A del sistema:
x2
A

2
 y  x  x ... 1 

 y'  2x  A ...  2

x2

Derivando: y '  2 x 

4

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Solución (Problema 2)
La primera ecuación se multiplica por:

1
x

yse suma a la segunda ecuación. Así tenemos:

A
 y


x
 x
x2

 y '  2x  A

x2

Obteniéndose:

y '

1
y  3x
x

EDO

2

Ecuación diferencial de variables 
separables

5

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Problema 1
Determine la solución de la siguiente EDO:

dy y 2  xy 2

dx x 2 y  x 2

Solución (Problema 1)
Factorizando y separandovariables:

dy y 2 1  x


dx x 2  y 1

y 1
1 x
dy

dx
y2
x2

Solución (Problema 1)
Integrando: 



y 1
1 x
dy

 x2 dx
y2

ln y 

1
1
   ln x  C
y
x

6

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Problema 2
Determine la solución de la EDO:

cos y  1  e x  sen y

dy
0
dx

Solución (Problema 2)
Separando la variable obtenemos:cos y   1  e  x  sen y

dy
dx

1
sen y
dx  
dy
x
1 e
cos y

Solución (Problema 2)
Integrando:

1

 1 e

x

dx  

 sen y
dy
cos y

ln 1  e x   ln  cos y   C

7

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3

EDOL de primer orden
(Factor integrante)

Problema 1
Determine la solución general de la siguiente EDOL:

 x  1

dy
2
y   x  1
dx

Solución (Problema 1)
La EDOL se escribe:

y '

El factor integrante es:

1
y  x 1
x 1
1

I  x   e  x 1

dx

I  x   eln x 1  x  1

8

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Solución (Problema 1)
Luego: I  x   x  1, x  1

(x 1) y  y  (x 1)2

Multiplicando por el 
factor integrante:

Integrando:

 x  1 y    x 1
 x  1

Luego,

(x 1) y´ (x 1)2

 x  1
y
3

 x  1
y

2

dx

3

3

2



C

Solución 
general

C
x 1

Problema 2
Determine la solución general de la siguiente EDOL:

x

dy
 y  x 2 sen x
dx

Solución(Problema 2)
La EDOL se puede escribir como:

1
y ' y  x sen x
x

El factor integrante es:
1

dx
1
I  x  e  x  eln...