Ecuaciones Diferenciales

PRESENTA:
gaspar ramirez daniel

ASIGNATURA:
ECUACIONES DIFERENCIALES

HORARIO:
11:00-2:00pm

PROFESOR:
FERNANDO MAÑON ALARCON

TEMA:
UNIDAD 1 ECUACIONES DIFERENCIALES

CALIFICACION:
____________________

2.1 Teoría preliminar:

INTRODUCCION Y TEORIA:
El descubrimiento basado por newton y Leibniz en el siglo XVIII, sentó las bases en el desarrollo de las matemáticasprincipalmente en el de la ingeniería haciend0o justificable y visible sus aplicaciones como Una rama de las matemáticas es suma mente estudiada y compleja a su vez.
Las ecuaciones diferenciales hoy en día, son muy utilizadas sobre todo en la ingeniería para poder resolver diversas situaciones problemáticas con ayuda de factores integrantes.
Se busca resolver temas de fundamental interés en elcual determinaremos soluciones que poseen las ecuaciones diferenciales lineales de orden n y poder desarrollar métodos generales para poder determinar sus soluciones.
Ejemplo de una ecuación diferencial:
yn) + a1(x)yn−1) + · · · + an−1(x)y0 + an(x)y = f(x)

2.1.1 Definición de ecuación diferencial de orden n

En esta sección presentaremos un método general para resolver ED lineales deorden n cuya forma es:

Estas ecuaciones se caracterizan por las dos propiedades siguientes:
1. La variable dependiente y así como sus derivadas tienen exponente igual a 1, o bien 0, exclusivamente.
2. Los coeficientes an(x),…….a1(x),a0(x) y la función g(x) son funciones que sólo dependen de x, o son constantes. Es decir, no dependen de la variable dependiente y.Cabe mencionar que no existenmétodos, ni generales ni sencillos que permitan resolver ecuaciones diferenciales
no lineales de orden n. ¿Qué hace la diferencia?; la respuesta es simple: poder usar o no el bagaje del álgebra lineal. Ésta es una rama muy útil de las matemáticas donde encontramos las definiciones, conceptos y resultados que nos permitirán resolver el problema general. Así, nuestro estudio pasará obligadamente poralgunas de las ideas más importantes de este tema que se presentan a continuación.

Ejemplos:
1.-

2.-


3.-

2.1.2 Problema de valor inicial
Problema de valor inicial.
Frecuentemente se resuelven sujetos a condiciones dadas que la función desconocida debe satisfacer. Existe una solución única del problema con valor inicial, cuando el punto (x⁰, y⁰) está ubicado en cualquiera de lasregiones (semiplanos) definidas por y<x ó y> x. esto es, por la región por debajo de la recta y=x ó de la región por encima de la recta y=x.
Ejemplos:
1.-

2.-

3.-

2.1.3 Teorema de existencia y unicidad solución única
Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, conseguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:
*Existencia
*Unicidad
*DeterminaciónEl teorema de unicidad nos garantiza que para todo conjunto de condiciones de la forma:

Existe una única función definida en dicho intervalo
que verifica dichas condiciones.
Sin embargo, no pasa lo mismo si nos dan una serie de condiciones de frontera, consistentes en:

En tal caso no hay nada garantizado, ya que aquí puede haber varias, una o ninguna solución.

Ejemplo 1:

Y (1)=2Solución:
F(x,y)=

Ejemplo 2:

F(x,y)=

Ejemplo3:

4.- Hallar los valores de y para los cuales el teorema de existencia y unicidad garantiza que el problema de valor inicial

Tiene solución única.
Como la derivada parcial y son continua en todo punto donde, el teorema garantiza que existe una solución en el conjunto.

2.1.4 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
Esta...