Ecuaciones Diferenciales

UNIDAD 1
¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Para representar la realidad en Movimiento usamos modelos matemáticos, que nos indican acerca de una velocidad de movimiento, de un descenso de temperatura, de un aumento de población, de un monto de intereses, hasta el menor cambio, en cualquier aspecto en nuestro planeta. Las realidades cambiantes,antes mencionadas, tienen en común que son variaciones a través del tiempo. Así pues en Matemáticas utilizamos el lenguaje de las ecuaciones diferenciales para representar los hechos y los datos cambiante Ecuación diferencial Definición 1.1 Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto delas que se deriva. Que puede exprezarse en su forma explicita con condiciones iniciales: ( ( ) O en su forma implicita, con condiciones iniciales: ( Definición 1.2 Orden de una ecuación diferencial es la derivada más alta contenida en ella. Definición 1.3 Grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dadaen forma polinomial. Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Subtema 1.1 1.- Clasificación por tipo. 2.- Clasificación por orden. 3.- Clasificación por grado ) ( ) )

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UNIDAD 1
Clasificación por tipo:

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Tipo Ordinaria: La ecuación diferencial contiene derivadas de una o másvariables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Tipo Parciales: La ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes en el tiempo.

Clasificación por orden: Primer Orden Segundo Orden Tercer Orden ……. Orden n

F(x, y, y`) = 0 F(x, y, y`, y``) = 0 F(x, y, y`, y``, y```) = 0

F(x y` …… yn) = 0Clasificación por grado. Lineales: A) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de 1er. Grado. B) Cada coeficiente de y y sus derivadas independiente x (puede ser constante). depende solamente de las variable

No lineales: Las que no cumplan las propiedades anteriores.

Teorema de existencia y unicidad. Subtema 1.2 Estableceremos un teorema fundamental que establece condicionesbajo las cuales un problema de valores iniciales, para una ecuación lineal de primer orden, tiene siempre una solución y sólo una. Teorema 1.2.1 Si las funciones p y g son continuas dentro de un intervalo abierto α < x < β que contiene el punto x = x0, entonces existe una función única y Ф(x) que satisface la ecuación diferencial

Y`+p(x)y = g(x)
Para α < x < β y que tambien satisface lacondición inicial Donde y0 es un valor inicial arbitrariamente prescrito

Y(x0)= y0

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Solución de una ecuación diferencial Subtema 1.3 Definición 1.4

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación, es decir, al sustituir lafunción que contiene una o más constantes. Definición 1.5 Solución general de una ecuación diferencial es la función que contiene una o más constantes arbitrarias (Obtenidas de las sucesivas Integraciones) Definición 1.6 Solución particular de una ecuación diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico. Definición 1.7 Solución Singular de una ecuación diferencial esuna función cuya tangente a su gráfica en cualquier punto (xo, yo) coincide con la tangente de otra solución pero ya no coincide con esta última tangente en ninguna vecindad del punto, (xo, yo), por pequeña que esta sea. Ecuaciones diferenciales de Primer Orden Ecuaciones diferenciales con Variables separables Definición: La ecuación diferencial de variables separables es de la forma siguiente:...