Ecuaciones diferenciales

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIHUAHUA

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA FÍSICA-MÁTEMÁTICA

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Dr. Alberto Camacho

ONDAS MECÁNICAS
SISTEMA MASA-RESORTE
TRANSFORMADA DE LAPLACE

Elízabeth R

Jaziel S

Grupo 3FM01

Diciembre de 2007
MARCO TEÓRICO

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE EN UN SISTEMA MASA-RESORTE.
Robert Hooke (1676) descubrió yestableció la ley que se utiliza para definir las propiedades elásticas de un cuerpo. En el estudio de los efectos por las fuerzas de tensión, observó que había un aumento de la longitud del cuerpo, que era proporcional a la fuerza aplicada, dentro de unos límites bastante amplios. Esta observación puede generalizarse diciendo que la deformación es proporcional a la tensión deformadora, expresión que seconoce con el nombre de ley de Hooke.
 Si la fuerza deformadora sobrepasa un cierto valor, el cuerpo no volverá a su tamaño (o forma) original después de suprimir esa fuerza. Entonces se dice que ha adquirido una deformación permanente. La tensión más pequeña que produce una deformación permanente se llama límite de elasticidad. Para fuerzas deformadoras que rebasan el límite de elasticidad no esaplicable la ley de Hooke.
La resistencia de una barra, cable o muelle, se representa mucha veces por una ecuación de la forma [pic], la cual establece que la deformación s del cuerpo, respecto a su longitud sin carga, es directamente proporcional a la fuerza deformadora F. La constante k, o relación entre la fuerza y la deformación, se denomina constante de fuerza y se expresa en newton pormetro, en dinas por centímetro o en kilopondios por metro. Su valor es numéricamente igual al de la fuerza que se requiere para producir una deformación unidad.
Suponga que un resorte flexible se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se une una masa m a su extremo libre. La cantidad de alargamiento, o de elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan elresorte en cantidades distintas. Por la ley de Hooke, el resorte ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la cantidad de elongación s. Expresada como F = ks, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte, que es una propiedad intrínseca del resorte.

Después de que se une una masa m a un resorte, ésta alarga elresorte por una cantidad s y logra una posición de equilibrio en la cual su peso w se equilibra con la fuerza restauradora ks. La condición de equilibrio es mg = ks. Si la masa se desplaza por una cantidad x de su posición. Si la masa se desplaza por una cantidad x de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces k(x+s). Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras queactúen sobre el sistema y que la masa vibra libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), se pueden igualar la segunda ley de Newton con al fuerza neta, o resultante, de la fuerza restauradora y el peso.
[pic]
El signo negativo indica que la fuerza restauradora actúa en dirección contraria a la dirección del movimiento. Se adopta la convención de que los desplazamientos medidos debajo de laposición de equilibrio son positivos.

Para un sistema masa resorte sin ninguna fuerza aplicada externamente tenemos que:
[pic]
La ecuación diferencial que representa el modelo de un sistema masa resorte está dada por:
[pic]
Donde [pic], por lo tanto [pic]
Resolviendo esta ecuación diferencial tenemos:

[pic] [pic] [pic]
Por lo tanto: [pic]

Aplicando lascondiciones iniciales [pic] y [pic]
Primero trabajando con x(0): [pic]
Luego con la segunda condición inicial: [pic]
Haciendo [pic] y [pic] [pic] [pic]
[pic]

Aplicando una identidad trigonométrica resulta la siguiente:
[pic]
Donde:
C=amplitud
ωo=Frecuencia angular
α=ángulo de fase

FUNCIÓN DELTA DE DIRAC...