ecuaciones diferenciales

0 . Introducción

Ya conoceis el problema básico:

Hallar y(t) tal que 'Ecuaciones diferenciales'

cuyas infinitas soluciones (bajo los supuestos precisos) vienen dadas por

'Ecuaciones diferenciales'

en la que se ha explicitado la constante arbitraria C de integración

La ecuación 'Ecuaciones diferenciales'
se dice que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden cuyasolución general es la familia de curvas paralelas 'Ecuaciones diferenciales'

La curva (única) de la familia que pasa por un punto dado (t0, y(t0)) se llama solución (o integral) particular de la ecuación para la condición inicial dada y(t0)

5.1. Ecuación diferencial de una familia de curvas

Sea una familia de curvas dependientes de un parámetro:

'Ecuaciones diferenciales'

Porderivación, podemos eliminar el parámetro C y obtener una ecuación diferencial, que se llama ecuación diferencial de la familia

'Ecuaciones diferenciales'

EJEMPLOS:

Obtener la EDO de las siguientes familias de curvas

1) 'Ecuaciones diferenciales'

2) 'Ecuaciones diferenciales'

3) 'Ecuaciones diferenciales'

4) 'Ecuaciones diferenciales'
(Boletín)

5) 'Ecuaciones diferenciales'(Boletín)

En los ejemplos anteriores podemos ver cómo cada ecuación diferencial expresa determinadas propiedades geométricas de las curvas de la familia que la genera

Los ejemplos pueden hacer también pensar que puesto que a toda familia de curvas podemos hacerle corresponder una ecuación diferencial, a toda ecuación diferencial le podríamos hacer corresponder una familia de curvas como solución . .. . PERO NO

5.2 Definiciones básicas. Solución general, soluciones particulares y soluciones singulares

5.2.1 Ecuaciones diferenciales

En general, se llama ecuación diferencial ordinaria (EDO en adelante) de orden p a toda ecuación de la forma 'Ecuaciones diferenciales'
que relaciona la variable independiente t (el tiempo para nosotros) con una función desconocida de la misma y(t) y lassucesivas derivadas de ésta hasta el orden p

Cuando F es lineal, la ecuación se llama lineal

Ejemplos:

'Ecuaciones diferenciales'
'Ecuaciones diferenciales'

'Ecuaciones diferenciales'
'Ecuaciones diferenciales'
5.2.2 Solución

Se llama solución de la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'
a toda función 'Ecuaciones diferenciales'
tal que 'Ecuaciones diferenciales'
(al sustituiren la ecuación se obtiene una identidad)

Ejemplo: Comprobar que 'Ecuaciones diferenciales'
es solución de la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'

5.2.3 Solución general. Soluciones particulares y soluciones singulares

5.2.3.1 Se llama solución general de EDO de orden p

'Ecuaciones diferenciales'

a toda solución de la misma que contenga p constantes arbitrarias

Ejemplos:

1)Hallar la solución general de 'Ecuaciones diferenciales'
2) Comprobar que 'Ecuaciones diferenciales'
es la solución general de la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'

5.2.3.2 Se llaman soluciones particulares de la EDO a todas aquellas soluciones que se obtienen a partir de la solución general para valores particulares de la o las constantes arbitrarias que figuren en la solución generalEjemplos:

Halle soluciones particulares para las ecuaciones

1) 'Ecuaciones diferenciales'

2) 'Ecuaciones diferenciales'

3) Ejercicio 4 del boletín:

5.2.3.3 El Problema del valor inicial (PVI):

Consiste en:

Dada una EDO, hallar la solución particular y(t) tal que para t = t0 (normalmente t = 0), se tiene y(t0) = y0 (conocido)

Ejemplos:

1) Hallar la solución particular quecumple la condición (inicial) y(0) = 4 para la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'

2) Ejercicio 7 del boletín

5.2.3.4 Soluciones singulares: En ocasiones una EDO puede tener soluciones que no están contenidas en la solución general (no corresponden a valores particulares de las constantes). Tales soluciones se llaman soluciones singulares

Ejemplo:

Ejercicio 2 del boletín: 'Ecuaciones...