Ecuaciones Diferenciales

Matem´aticas, UNAM
Semestre 2015-2

ECUACIONES DIFERENCIALES I
Tarea No. 1
Repaso sobre Integraci´
on

Prof. Jes´
us L´opez Estrada1
Ayudante Roberto M´endez M´endez

Ciudad UniversitariaFebrero de 2015

1

Departamento de Matem´
aticas, Facultad de Ciencias – UNAM

Opcional
1. Sea por el m´etodo de: sustituci´on, por partes, o bien por fracciones
parciales; halla lasintegrales siguientes:
a)

dx
sen x

b)

x2 sin xdx

c)

d)

√ dx
a2 −x2

e)

x
dx
sin2 x

f)

g)
j)

a+x
dx
a−x
(arctgx)5
dx
x2 +1

h)

1 2√
1
0 x

k)

∞
−ptdt
0 sin(at)e

− x3dx i)

cosh t
dx
sinh2 t+sinh4 t
√
√
(x− x)(1+ x)
√
dx
x3 x
1 cos x
−1 e1/x+1 dx

l)

4x−2
dx
x3 −x2 −2x

Obligatorios
1. ¿Qu´e dice el primer teoremafundamental del C´alculo?
2. ¿Qu´e dice el segundo teorema fundamental del C´alculo?
3. ¿ Qu´e dice el teorema de la funci´on impl´ıcita?
4. ¿ Qu´e dice el teorema de la funci´on inversa?
5. ¿ Qu´e esuna integral impropia?
6. ¿ Qu´e es una integral propia?
7. ¿ Qu´e dice el teorema de sustituci´on?
8. ¿ Qu´e dice el teorema del valor medio para la diferencial?
9. ¿ Qu´e dice el teorema delvalor medio integral?
10. ¿Qu´e m´etodos de integraci´on de funciones elementales (por partes,
sustituci´on, etc.) conoces? Ilustra con un ejemplo cada uno de ellos.
1

11. Halla una primitiva (sepuede utilizar Matlab, Mathematica, Maple, . . . ) para cada una de las funciones siguientes:
a)
c)
e)
g)

√
f (x) = sen x
√
f (x) = x3 − 1
1
f (x) =
ln x
√
f (x) = 1 − k 2sen2 x ,
0 < k2 ≤ 1.

b)
d)
f)
h)

2

f (x) = e−x
f (x) = sen (x2)
sen x
f (x) =
x
1
f (x) = √
,
1 − k 2sen2x
0 < k 2 ≤ 1.

¿Contradicen estos ejemplos al primer teorema fundamental delC´alculo?
12. Uno de los or´ıgenes de las integrales el´ıpticas es el siguiente problema: Hallar el per´ımetro P de la elipse E : b2x2 + a2y 2 = a2b2.
a) Usando las ecuaciones param´etricas x = a senϕ,...