Ecuaciones Diferenciales

Ecuación diferencial exacta
En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

Donde las derivadas parciales de lasfunciones M y N:  y  son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función  tal que:

donde  y .
Dado que  es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadasdeben ser iguales. Esto significa que:
.
Método de resolución.
Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
Comprobar la exactitud de la ecuación, estoes, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo lasolución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

Para despejar la función g se deriva  con respecto a la variable independientede g.
Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.
Finalmente sereemplaza el g encontrado en la solución general .
Factor integrante.
Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial  llamada factorintegrante, tal que:
 sea exacta.
Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero sólo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:Factor integrante solo en función de x.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Cabe decir quepara que  exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro  tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando que  y  equivalen a las parciales de estas;  y  respectivamente).
Factor...