Ecuaciones Diferenciales
Capítulo 6
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Capítulo 6
Sistemas de ecuaciones diferenciales
En los capítulos anteriores se han estudiado métodos para resolver ecuaciones diferenciales
ordinarias consideradas en forma individual. Sin embargo, en la práctica se encuentran
muchas veces la necesidad deresolver más de una ecuación diferencial en forma simultánea,
esto es, se encuentra la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales.
Los sistemas de ecuaciones diferenciales comprenden dos o más ecuaciones que contienen
las derivadas de dos o más funciones incógnitas de una sola variable independiente. Por
ejemplo, las ecuaciones
en donde,
Forman un sistema de dos ecuacionesdiferenciales
ordinarias de segundo orden. A continuación, veamos el concepto de solución.
Definición.
Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones
diferenciables x=x(t), y=y(t), …, que satisfacen cada ecuación del sistema en algún
intervalo I.
Existen varios métodos de solución de los sistemas de ecuaciones diferenciales. A
continuación veremos algunos deellos.
6.1 Método de los operadores
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La primera técnica que consideraremos para resolver los sistemas descritos se basa en elprincipio fundamental de eliminación algebraica sistemática de las variables. Veremos que lo
análogo de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar sobre una
ecuación diferencial con alguna combinación de derivadas. Veamos con ejemplos, el método
descrito.
Ejemplo 1
Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden dado por
Solución:
El primer paso esreescribir las ecuaciones diferenciales en forma de operadores, esto es,
Reescribiendo nuevamente,
Multiplicando la ecuación 3 por D, y la ecuación 4 por 2:
Sumando las ecuaciones 5 y 6:
La ecuación diferencial anterior, tiene como ecuación característica a:
Entonces, los valores de
Por lo cual, la solución para y, es,
De forma análoga, se obtiene:
Por lo cual,
Por otro lado, lasecuaciones 7 y 8 deben de satisfacer las ecuaciones en 1 y 2. Sustituyendo
en la ecuación 1:
Por lo cual,
y
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Entonces,
y
Sustituyendo enlas ecuaciones 7 y 8:
Por lo tanto, las ecuaciones 9 y 10 son las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales
dado.
6.2 Método de la transformada de Laplace
Cuando se especifican condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema
de ecuacines diferenciales lineales de coeficientes constantes a un conjunto de ecuaciones
algebraicas simultáneas en las funcionestransformadas. Veamos este método a través de los
siguientes ejemplos.
Ejemplo 2
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales.
sujeta a
Solución.
Paso 1) Transformar ambos lados la primer ecuación diferencial dada, llamando
, por lo que
Transformar ambos lados la segunda ecuación diferencial dada,__________________________________________________________________________________
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Resolver las ecuaciones (1´) y (2´) para despejar
,
Paso 2) Aplicar la transformada inversa a las ecuaciones (3) y (4) para obtener x(t) y y(t). A
partir de (3):
Usando fracciones parciales, se...
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