Ecuaciones Diferenciales

SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.
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SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas de ecuaciones deprimer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de ecuaciones de la forma:

Reducción a un sistema de primer orden
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden n con m ecuaciones:

Existe un sistema equivalente de primer orden con a lo sumo (n+1)xm ecuaciones. Para ver esto consideremos un sistema en queintervienen m funciones incógnitas xi y sus n derivadas, e introduzcamos un nuevo conjunto de variables yi,k definidos de la siguiente manera:

El sistema de primer orden equivalente en las variables yi,k resulta ser:

Como ejemplo de reducción de un sistema de ecuaciones diferenciales podemos considerar las ecuaciones de movimiento de la mecánica newtoniana de una partícula que es un sistemade segundo orden con tres ecuaciones:

Si se introducen tres funciones incógnita nuevas que representan la velocidad, el sistema anterior se puede reducir a un sistema de primer orden y seis ecuaciones:



SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Sistemas lineales de coeficientes constantes
Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes esun sistema de la forma:

Donde representa el vector de funciones incógnita. La solución de este sistema viene dada por la exponenciación de la matriz de coeficientes:

Como ejemplo podemos considerar el siguiente sistema homogéneo:

Los valores propios de la matriz son y por tanto la exponenciación de la matriz da lugar a funciones trigonométricas al tener parte imaginaria no nula,de hecho, la solución calculada a partir de la exponenciación resulta:

Sistemas lineales generales
Un sistema de ecuaciones diferenciales general tiene la forma:1
(*)
Donde:
es una función vectorial.
es una función matricial.
Existencia y unicidad de la solución
El teorema de Peano-Picard establece mediante una demostración constructiva la existencia y unicidad de la solución de unsistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma (*) en las que tanto la matriz como la función sean continuas en un intervalo compacto . El teorema procede por inducción construyendo una serie de funciones vectoriales que converge hacia la solución única del problema:
(**)
Probando que la anterior sucesión es una sucesión de Cauchy y dado que el espacio de funciones vectorialescontinuas es completo se sigue existe un único límite de dicha solución. Se puede probar que dicho límite es precisamente la solución buscada.
Aunque el teorema prueba la existencia y unicidad, el método constructivo puede no resultar un método práctico para encontrar una buena aproximación a la solución y mucho menos la solución analítica.
MÉTODO DE FROBENIUS

En matemáticas, Frobeniusmétodo describe una manera de encontrar serie infinita solución para un second-order ecuación diferencial ordinaria de la forma
Podemos dividirnos cerca z2 para obtener una ecuación diferencial de la forma
cuál no será soluble con regular métodos de la serie de energía si cualquiera p(z)/z o q(z)/z2 no sea analítico en z = 0. El método de Frobenius nos permite crear una solución de la serie de...